Номер 80, страница 86 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

80. На рисунке 232 $\angle 1 = \angle 2$. Докажите, что $PM = PE$.

Рис. 232

80. На рисунке 232 $\angle 1 = \angle 2$. Докажите, что $PM = PE$.

Рис. 232

Рассмотрим треугольник $PME$. Для того чтобы доказать, что $PM = PE$, необходимо доказать, что треугольник $PME$ является равнобедренным, а именно, что углы при его основании $ME$ равны, то есть $∠PME = ∠PEM$.

Из рисунка видно, что угол $∠1$ и угол $∠PME$ являются вертикальными углами. Они образованы при пересечении двух прямых (прямой, содержащей отрезок $ME$, и прямой, содержащей отрезок $PM$).

Согласно свойству вертикальных углов, они равны между собой. Таким образом, мы можем записать: $∠1 = ∠PME$.

По условию задачи дано, что $∠1 = ∠2$.

Используя метод подстановки (или свойство транзитивности равенства), из двух равенств $∠1 = ∠PME$ и $∠1 = ∠2$ мы можем сделать вывод, что: $∠PME = ∠2$.

Угол $∠2$ — это внутренний угол треугольника $PME$ при вершине $E$. Следовательно, $∠2 = ∠PEM$.

Таким образом, мы установили, что $∠PME = ∠PEM$.

В треугольнике $PME$ углы при стороне $ME$ равны. Согласно признаку равнобедренного треугольника, если два угла в треугольнике равны, то он является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Сторона $PE$ лежит напротив угла $∠PME$, а сторона $PM$ — напротив угла $∠PEM$.

Следовательно, $PM = PE$.

Ответ: Утверждение доказано. Так как $∠1$ и $∠PME$ — вертикальные, то $∠1 = ∠PME$. По условию $∠1 = ∠2$, следовательно, $∠PME = ∠2$. Поскольку $∠2$ — это угол $∠PEM$, то в треугольнике $PME$ углы при основании $ME$ равны ($∠PME = ∠PEM$). Значит, треугольник $PME$ — равнобедренный, и его боковые стороны равны: $PM = PE$.