Номер 77, страница 86 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

77. Серединный перпендикуляр стороны $DE$ равнобедренного треугольника $DEF$ ($DE = EF$) пересекает сторону $DF$ в точке $K$. Найдите сторону $DF$, если $DE = 21$ см, а периметр треугольника $EKF$ равен 60 см.

77. Серединный перпендикуляр стороны $DE$ равнобедренного треугольника $DEF (DE = EF)$ пересекает сторону $DF$ в точке $K$. Найдите сторону $DF$, если $DE = 21$ см, а периметр треугольника $EKF$ равен $60$ см.

По условию задачи дан равнобедренный треугольник $DEF$, в котором боковые стороны равны: $DE = EF$. Известно, что $DE = 21$ см, следовательно, $EF$ также равна 21 см.

Серединный перпендикуляр к стороне $DE$ пересекает сторону $DF$ в точке $K$. По свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка. Поскольку точка $K$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $DE$, то расстояния от точки $K$ до вершин $D$ и $E$ равны. Таким образом, мы получаем равенство отрезков:

$KD = KE$

Рассмотрим периметр треугольника $EKF$. Периметр — это сумма длин всех его сторон:

$P_{EKF} = EK + KF + EF$

Из условия задачи известно, что периметр треугольника $EKF$ равен 60 см. Подставим в формулу известные значения. Мы можем заменить $EK$ на равный ему отрезок $KD$, а $EF$ — на его известную длину 21 см:

$60 = KD + KF + 21$

Точка $K$ лежит на стороне $DF$. Это означает, что длина стороны $DF$ равна сумме длин отрезков $KD$ и $KF$, на которые ее делит точка $K$:

$DF = KD + KF$

Теперь мы можем заменить сумму $(KD + KF)$ в уравнении периметра на $DF$:

$60 = DF + 21$

Из этого уравнения находим искомую длину стороны $DF$:

$DF = 60 - 21 = 39$ см.

Ответ: 39 см.