Номер 76, страница 86 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

76. В равнобедренном треугольнике $MKP$ ($MK = KP$) провели биссектрису $KE$. Найдите её длину, если периметр треугольника $MKP$ равен 72 см, а периметр треугольника $MKE$ — 48 см.

76. В равнобедренном треугольнике $МКР$ ($МК = КР$) провели биссектрису $КЕ$. Найдите её длину, если периметр треугольника $МКР$ равен 72 см, а периметр треугольника $МКЕ$ - 48 см.

Пусть дан равнобедренный треугольник $MKP$, в котором боковые стороны равны ($MK = KP$). Периметр этого треугольника, обозначим его как $P_{MKP}$, равен 72 см.

Периметр треугольника $MKP$ определяется как сумма длин всех его сторон:
$P_{MKP} = MK + KP + MP$.

Поскольку $MK = KP$, мы можем записать:
$P_{MKP} = 2 \cdot MK + MP = 72$ см.

В треугольнике проведена биссектриса $KE$. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная из вершины угла между равными сторонами (в данном случае из вершины $K$), является также медианой и высотой к основанию.

Так как $KE$ является медианой, она делит основание $MP$ на два равных отрезка: $ME = EP$. Следовательно, длина всего основания $MP$ равна удвоенной длине отрезка $ME$:
$MP = 2 \cdot ME$.

Подставим это выражение в формулу периметра треугольника $MKP$:
$2 \cdot MK + 2 \cdot ME = 72$.

Вынесем 2 за скобки и разделим обе части уравнения на 2:
$2 \cdot (MK + ME) = 72$
$MK + ME = 36$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $MKE$. По условию, его периметр $P_{MKE}$ равен 48 см. Периметр этого треугольника определяется как:
$P_{MKE} = MK + ME + KE$.

Мы уже выяснили, что сумма сторон $MK + ME$ составляет 36 см. Подставим это значение в формулу для $P_{MKE}$:
$36 + KE = 48$.

Из этого уравнения легко найти длину биссектрисы $KE$:
$KE = 48 - 36 = 12$ см.

Ответ: 12 см.