Номер 69, страница 85 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

69. На рисунке 230 $BD = BE$, $\angle BDC = \angle BEA$, $\angle ABE = \angle CBD$. Найдите угол BAD, если $\angle BCE = 27^\circ$.

Рис. 230

69. На рисунке 230 $BD = BE, \angle BDC = \angle BEA, \angle ABE = \angle CBD.$ Найдите угол BAD, если $\angle BCE = 27^\circ.$

Рис. 230

Решение

Рассмотрим треугольники $\triangle ABE$ и $\triangle CBD$. Из условия задачи нам известно, что:
1) $\angle ABE = \angle CBD$
2) $BE = BD$
3) $\angle BEA = \angle BDC$
В треугольнике $\triangle ABE$ сторона $BE$ является прилежащей к углам $\angle ABE$ и $\angle BEA$. Аналогично, в треугольнике $\triangle CBD$ сторона $BD$ является прилежащей к углам $\angle CBD$ и $\angle BDC$. Таким образом, треугольники $\triangle ABE$ и $\triangle CBD$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам, ASA).

Из равенства треугольников $\triangle ABE \cong \triangle CBD$ следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $AB$ в $\triangle ABE$ лежит напротив угла $\angle BEA$, а сторона $CB$ в $\triangle CBD$ лежит напротив угла $\angle BDC$. Так как по условию $\angle BEA = \angle BDC$, то и противолежащие им стороны равны, то есть $AB = CB$.

Далее рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBE$.
Угол $\angle ABD$ можно представить как сумму углов: $\angle ABD = \angle ABE + \angle EBD$.
Угол $\angle CBE$ можно представить как сумму углов: $\angle CBE = \angle CBD + \angle EBD$.
Поскольку из условия известно, что $\angle ABE = \angle CBD$, то получаем, что $\angle ABD = \angle CBE$.

Теперь сравним элементы треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle CBE$:
1) $AB = CB$ (как было доказано ранее).
2) $\angle ABD = \angle CBE$ (как было доказано ранее).
3) $BD = BE$ (согласно условию).
Следовательно, треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBE$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними, SAS).

Из равенства треугольников $\triangle ABD \cong \triangle CBE$ следует равенство их соответствующих углов. В $\triangle ABD$ угол $\angle BAD$ лежит напротив стороны $BD$. В $\triangle CBE$ угол $\angle BCE$ лежит напротив стороны $BE$. Так как стороны $BD$ и $BE$ равны ($BD = BE$), то и противолежащие им углы также равны: $\angle BAD = \angle BCE$.

По условию задачи $\angle BCE = 27^\circ$. Отсюда следует, что искомый угол $\angle BAD$ также равен $27^\circ$.

Ответ: $27^\circ$.