Номер 63, страница 84 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

63. Серединный перпендикуляр стороны $AC$ треугольника $ABC$ пересекает сторону $AB$ в точке $E$. Найдите сторону $AB$, если $BC = 4$ см, а периметр треугольника $BEC$ равен 16 см.

63. Серединный перпендикуляр стороны $AC$ треугольника $ABC$ пересекает сторону $AB$ в точке $E$. Найдите сторону $AB$, если $BC = 4 \text{ см}$, а периметр треугольника $BEC$ равен $16 \text{ см}$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию, серединный перпендикуляр к стороне $AC$ пересекает сторону $AB$ в точке $E$.

Ключевое свойство серединного перпендикуляра к отрезку заключается в том, что любая точка, лежащая на нем, равноудалена от концов этого отрезка. Поскольку точка $E$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AC$, она равноудалена от вершин $A$ и $C$. Следовательно, длины отрезков $AE$ и $CE$ равны:

$AE = CE$

Периметр треугольника $BEC$ вычисляется как сумма длин его сторон:

$P_{BEC} = BE + CE + BC$

Из условия задачи известно, что периметр треугольника $BEC$ равен 16 см, а сторона $BC = 4$ см. Подставим эти значения в формулу периметра:

$16 = BE + CE + 4$

Отсюда найдем сумму длин сторон $BE$ и $CE$:

$BE + CE = 16 - 4 = 12$ см

Так как мы установили, что $AE = CE$, мы можем заменить в этом равенстве $CE$ на $AE$:

$BE + AE = 12$ см

Сторона $AB$ треугольника $ABC$ состоит из отрезков $AE$ и $BE$. Таким образом:

$AB = AE + BE$

Следовательно, длина стороны $AB$ равна 12 см.

Ответ: 12 см.