Номер 61, страница 84 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

61. На рисунке 223 $MF = FP$, $\angle MFK = \angle PFK$. Докажите, что $\triangle MFK = \triangle PFK$.

Рис. 223

61. На рисунке 223 $MF = FP$, $\angle MFK = \angle PFK$. Докажите, что $\Delta MFK = \Delta PFK$.

Рис. 223

Рассмотрим треугольники $ \triangle MFK $ и $ \triangle PFK $. Для того чтобы доказать их равенство, воспользуемся одним из признаков равенства треугольников.

Проанализируем данные из условия задачи и рисунка:
1. Сторона $MF$ треугольника $ \triangle MFK $ равна стороне $FP$ треугольника $ \triangle PFK $ ($MF = FP$) по условию.
2. Угол $ \angle MFK $, образованный сторонами $MF$ и $FK$, равен углу $ \angle PFK $, образованному сторонами $FP$ и $FK$ ($ \angle MFK = \angle PFK $), также по условию.
3. Сторона $FK$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, мы имеем две стороны и угол между ними в треугольнике $ \triangle MFK $ (стороны $MF$, $FK$ и угол $ \angle MFK $), которые соответственно равны двум сторонам и углу между ними в треугольнике $ \triangle PFK $ (стороны $FP$, $FK$ и угол $ \angle PFK $).

Согласно первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Следовательно, $ \triangle MFK = \triangle PFK $, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $ \triangle MFK $ и $ \triangle PFK $ доказано на основании первого признака равенства треугольников, так как сторона $MF = FP$, угол $ \angle MFK = \angle PFK $ по условию, а сторона $FK$ — общая.