Номер 67, страница 84 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

67. На рисунке 228 $EO = OF$, $\angle E = \angle F$. Докажите, что $\triangle COD = \triangle AOB$.

Рис. 228

67. На рисунке 228 $EO = OF$, $\angle E = \angle F$. Докажите, что $\triangle COD = \triangle AOB$.

Рис. 228

Доказательство:

Для доказательства равенства треугольников $\triangle COD$ и $\triangle AOB$ мы сначала докажем равенство двух других пар треугольников, используя данные из условия задачи.

1. Рассмотрим треугольники $\triangle EOD$ и $\triangle FOB$.
Согласно условию задачи, нам дано:

• $EO = OF$
• $\angle E = \angle F$, что в контексте этих треугольников означает $\angle OED = \angle OFB$.

Кроме того, углы $\angle EOD$ и $\angle FOB$ являются вертикальными углами, образованными при пересечении прямых $BD$ и $EF$. Следовательно, $\angle EOD = \angle FOB$.
Таким образом, $\triangle EOD = \triangle FOB$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон, в частности: $OD = OB$.

2. Рассмотрим треугольники $\triangle EOC$ и $\triangle FOA$.
Согласно условию задачи, нам дано:

• $EO = OF$
• $\angle E = \angle F$, что в контексте этих треугольников означает $\angle OEC = \angle OFA$.

Углы $\angle EOC$ и $\angle FOA$ являются вертикальными углами, образованными при пересечении прямых $AC$ и $EF$. Следовательно, $\angle EOC = \angle FOA$.
Таким образом, $\triangle EOC = \triangle FOA$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон, в частности: $OC = OA$.

3. Теперь докажем равенство треугольников $\triangle COD$ и $\triangle AOB$.
Из предыдущих шагов мы установили, что:

• $OD = OB$ (из пункта 1)
• $OC = OA$ (из пункта 2)

Угол $\angle COD$ и угол $\angle AOB$ являются вертикальными углами, образованными при пересечении прямых $AC$ и $BD$. Следовательно, $\angle COD = \angle AOB$.
Таким образом, мы имеем две стороны и угол между ними в $\triangle COD$, которые соответственно равны двум сторонам и углу между ними в $\triangle AOB$.
Следовательно, $\triangle COD = \triangle AOB$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle COD$ и $\triangle AOB$ доказано на основе признаков равенства треугольников, исходя из предоставленных в условии данных.