Номер 68, страница 85 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

68. На рисунке 229 $AO = OC, MO = OK, AD = BC$. Докажите, что $\triangle ABC = \triangle CDA$.

Рис. 229

68. На рисунке 229 $AO = OC$, $MO = OK$, $AD = BC$. Докажите, что $\triangle ABC = \triangle CDA$.

Рис. 229

Рассмотрим четырехугольник AMCK. Его диагонали AC и MK пересекаются в точке O. По условию, $AO = OC$ и $MO = OK$. Так как диагонали четырехугольника AMCK в точке пересечения делятся пополам, то, по признаку параллелограмма, четырехугольник AMCK является параллелограммом.

Из свойства параллелограмма следует, что его противолежащие стороны параллельны, то есть $AM \parallel CK$. Поскольку, согласно рисунку, точки M и K лежат на прямых, содержащих стороны AD и BC соответственно, то и прямые, содержащие эти стороны, параллельны: $AD \parallel BC$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$. В них:

• Сторона $BC = AD$ (по условию задачи).
• Сторона AC является общей для обоих треугольников.
• Угол $\angle BCA = \angle DAC$, так как они являются накрест лежащими углами при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей AC.

Таким образом, две стороны и угол между ними одного треугольника ($\triangle ABC$) соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника ($\triangle CDA$).

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ABC = \triangle CDA$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $\triangle ABC = \triangle CDA$.