Номер 64, страница 84 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

64. На рисунке 225 $BD = FD$, $\angle MBC = \angle KFE$. Докажите, что $\triangle BCD = \triangle FED$.

Рис. 225

64. На рисунке 225 $BD = FD$, $\angle MBC = \angle KFE$. Докажите, что $\triangle BCD = \triangle FED$.

Рис. 225

Чтобы доказать, что $ \triangle BCD = \triangle FED $, мы воспользуемся вторым признаком равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Для этого нам нужно найти в этих треугольниках равную сторону и два равных прилежащих к ней угла.

Доказательство:

1. Рассмотрим углы $ \angle MBC $ и $ \angle CBF $. Они являются смежными, так как их стороны $ MB $ и $ BF $ образуют прямую. Сумма смежных углов равна $ 180^\circ $, поэтому $ \angle CBF = 180^\circ - \angle MBC $.

2. Аналогично, углы $ \angle KFE $ и $ \angle EFB $ являются смежными, так как их стороны $ KF $ и $ FB $ образуют прямую. Поэтому $ \angle EFB = 180^\circ - \angle KFE $.

3. По условию задачи $ \angle MBC = \angle KFE $. Из этого следует, что и смежные с ними углы равны:
$ \angle CBF = 180^\circ - \angle MBC = 180^\circ - \angle KFE = \angle EFB $.

4. Углы $ \angle CBF $ и $ \angle EFB $ являются накрест лежащими углами при пересечении прямых $ BC $ и $ FE $ секущей $ BF $. Поскольку эти накрест лежащие углы равны ($ \angle CBF = \angle EFB $), то по признаку параллельности прямых, прямые $ BC $ и $ FE $ параллельны ($ BC \parallel FE $).

5. Теперь рассмотрим треугольники $ \triangle BCD $ и $ \triangle FED $. Сравним их соответствующие элементы:

• $ BD = FD $ — по условию.
• $ \angle BDC = \angle FDE $ — как вертикальные углы при пересечении прямых $ BF $ и $ CE $.
• $ \angle CBD = \angle EFD $ — как накрест лежащие углы при параллельных прямых $ BC $ и $ FE $ и секущей $ BF $. (Угол $ \angle EFD $ является частью прямой $ BF $, поэтому он совпадает с углом $ \angle EFB $).

Таким образом, сторона $ BD $ и два прилежащих к ней угла ($ \angle CBD $ и $ \angle BDC $) треугольника $ \triangle BCD $ соответственно равны стороне $ FD $ и двум прилежащим к ней углам ($ \angle EFD $ и $ \angle FDE $) треугольника $ \triangle FED $.

Следовательно, $ \triangle BCD = \triangle FED $ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $ \triangle BCD $ и $ \triangle FED $ доказано на основе второго признака равенства треугольников (ASA).