Номер 60, страница 83 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

60. Равные отрезки $MN$ и $SV$ пересекаются в точке $A$ так, что $MA : AN = SA : AV = 3 : 5$. Докажите, что $\triangle MAV = \triangle SAN$.

60. Равные отрезки $MN$ и $SV$ пересекаются в точке $A$ так, что $MA : AN = SA : AV = 3 : 5$. Докажите, что $\Delta MAV = \Delta SAN$.

Дано:

Отрезки $MN$ и $SV$ пересекаются в точке $A$.

$MN = SV$.

$MA : AN = 3 : 5$.

$SA : AV = 3 : 5$.

Доказать:

$\triangle MAV = \triangle SAN$.

Доказательство:

1. Из условия, что точка $A$ делит отрезок $MN$ в отношении $MA : AN = 3 : 5$, введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда длины отрезков будут равны $MA = 3x$ и $AN = 5x$. Длина всего отрезка $MN$ равна сумме его частей: $MN = MA + AN = 3x + 5x = 8x$.

2. Аналогично, из условия, что точка $A$ делит отрезок $SV$ в отношении $SA : AV = 3 : 5$, введем коэффициент пропорциональности $y$. Тогда $SA = 3y$ и $AV = 5y$. Длина всего отрезка $SV$ равна: $SV = SA + AV = 3y + 5y = 8y$.

3. По условию задачи отрезки $MN$ и $SV$ равны, то есть $MN = SV$. Приравняем выражения для их длин: $8x = 8y$. Отсюда следует, что $x = y$.

4. Теперь сравним стороны треугольников $\triangle MAV$ и $\triangle SAN$.

- Сторона $MA = 3x$.

- Сторона $SA = 3y$. Поскольку мы доказали, что $x=y$, то $SA = 3x$. Следовательно, $MA = SA$.

- Сторона $AV = 5y$. Поскольку $x=y$, то $AV = 5x$.

- Сторона $AN = 5x$.

- Следовательно, $AV = AN$.

5. Углы $\angle MAV$ и $\angle SAN$ образованы при пересечении отрезков $MN$ и $SV$. Эти углы являются вертикальными, а значит, они равны по свойству вертикальных углов: $\angle MAV = \angle SAN$.

6. Таким образом, мы имеем две пары равных сторон ($MA = SA$ и $AV = AN$) и равные углы между ними ($\angle MAV = \angle SAN$). Согласно первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольники $\triangle MAV$ и $\triangle SAN$ равны.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle MAV$ и $\triangle SAN$ доказано. Из условий $MN = SV$ и $MA:AN = SA:AV = 3:5$ следует, что стороны $MA=SA$ и $AV=AN$. Углы $\angle MAV$ и $\angle SAN$ равны как вертикальные. Следовательно, треугольники равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).