Номер 66, страница 84 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

66. На рисунке 227 $DP = KE$, $\angle FDP = \angle KEH$, $\angle MKD = \angle NPE$. Докажите, что $MD = NE$.

Рис. 227

66. На рисунке 227 $DP = KE$, $\angle FDP = \angle KEH$, $\angle MKD = \angle NPE$. Докажите, что $MD = NE$.

Для доказательства того, что $MD = NE$, мы рассмотрим несколько пар треугольников и воспользуемся их свойствами, вытекающими из условий задачи.

Дано:

• $DP = KE$
• $\angle FDP = \angle KEH$
• $\angle MKD = \angle NPE$

Доказать:

• $MD = NE$

Доказательство:

1. Пусть прямые $ME$ и $DN$ пересекаются в точке $O$.

2. Рассмотрим углы, смежные с данными в условии. Угол $\angle MDK$ смежный с углом $\angle FDP$, следовательно, $\angle MDK = 180^\circ - \angle FDP$. Угол $\angle NEP$ (который является частью угла $\angle NEH$) смежный с углом $\angle KEH$, следовательно, $\angle NEP = 180^\circ - \angle KEH$. Так как по условию $\angle FDP = \angle KEH$, то и смежные с ними углы равны: $\angle MDK = \angle NEP$.

3. Рассмотрим треугольники $\triangle ODP$ и $\triangle OKE$.

• $DP = KE$ (по условию).
• $\angle DOP = \angle KOE$ (как вертикальные углы).
• Углы $\angle OPD$ и $\angle NPE$ являются смежными, поэтому $\angle OPD = 180^\circ - \angle NPE$.
• Углы $\angle OKE$ и $\angle MKD$ являются смежными, поэтому $\angle OKE = 180^\circ - \angle MKD$.
• По условию $\angle MKD = \angle NPE$, следовательно, $\angle OPD = \angle OKE$.

4. Применим теорему синусов к треугольникам $\triangle ODP$ и $\triangle OKE$.
Для $\triangle ODP$: $\frac{OD}{\sin(\angle OPD)} = \frac{DP}{\sin(\angle DOP)}$
Для $\triangle OKE$: $\frac{OE}{\sin(\angle OKE)} = \frac{KE}{\sin(\angle KOE)}$

5. Из этих равенств выразим $OD$ и $OE$:
$OD = \frac{DP \cdot \sin(\angle OPD)}{\sin(\angle DOP)}$
$OE = \frac{KE \cdot \sin(\angle OKE)}{\sin(\angle KOE)}$
Мы знаем, что $DP = KE$, $\angle OPD = \angle OKE$ и $\angle DOP = \angle KOE$. Подставляя эти равенства, получаем, что правые части выражений для $OD$ и $OE$ равны. Следовательно, $OD = OE$.

6. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle OMD$ и $\triangle ONE$.

• $\angle MOD = \angle NOE$ (как вертикальные углы).
• $\angle MDO = \angle MDK$ и $\angle NEO = \angle NEP$. Из пункта 2 мы знаем, что $\angle MDK = \angle NEP$, следовательно, $\angle MDO = \angle NEO$.
• Поскольку два угла треугольника $\triangle OMD$ соответственно равны двум углам треугольника $\triangle ONE$, то и третьи углы равны: $\angle DMO = \angle ENO$.

Таким образом, треугольники $\triangle OMD$ и $\triangle ONE$ подобны по трем углам ($\triangle OMD \sim \triangle ONE$).

7. Коэффициент подобия этих треугольников равен отношению соответствующих сторон. Возьмем стороны $OD$ и $OE$: $k = \frac{OD}{OE}$
Из пункта 5 мы доказали, что $OD = OE$. Значит, коэффициент подобия $k=1$.

8. Если коэффициент подобия двух треугольников равен 1, то эти треугольники равны. Следовательно, $\triangle OMD \cong \triangle ONE$.

9. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Таким образом, $MD = NE$.

Что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство $MD=NE$ доказано на основе равенства треугольников $\triangle OMD$ и $\triangle ONE$, которое, в свою очередь, следует из равенства сторон $OD$ и $OE$, доказанного с помощью теоремы синусов для треугольников $\triangle ODP$ и $\triangle OKE$.