Номер 59, страница 83 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

59. В треугольнике $ABC$ проведены медианы $AM$ и $CD$. Периметры треугольников $ACD$ и $BCD$ равны, а периметр треугольника $ABC$ равен 32 см. Найдите стороны треугольника $ABC$, если $AC : AB = 5 : 6$.

59. В треугольнике $ABC$ проведены медианы $AM$ и $CD$. Периметры треугольников $ACD$ и $BCD$ равны, а периметр треугольника $ABC$ равен 32 см. Найдите стороны треугольника $ABC$, если $AC : AB = 5 : 6$.

Дано: $\triangle ABC$, $AM$ и $CD$ — медианы, $P_{ACD} = P_{BCD}$, $P_{ABC} = 32$ см, $AC : AB = 5 : 6$.

Найти: стороны $AB$, $BC$, $AC$.

Решение:

1. Рассмотрим периметры треугольников $ACD$ и $BCD$.
Периметр треугольника $ACD$ вычисляется по формуле: $P_{ACD} = AC + AD + CD$.
Периметр треугольника $BCD$ вычисляется по формуле: $P_{BCD} = BC + BD + CD$.

2. По условию задачи, $P_{ACD} = P_{BCD}$.
Следовательно, $AC + AD + CD = BC + BD + CD$.
Вычтем из обеих частей равенства общую сторону $CD$:
$AC + AD = BC + BD$.

3. Поскольку $CD$ — медиана, проведенная к стороне $AB$, точка $D$ является серединой стороны $AB$. Это означает, что $AD = BD$.
Подставим это в наше равенство:
$AC + AD = BC + AD$
Вычтем из обеих частей $AD$:
$AC = BC$.
Таким образом, треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AB$.

4. Из условия известно соотношение сторон $AC : AB = 5 : 6$.
Так как $AC = BC$, то соотношение всех сторон треугольника $ABC$ будет $AC : BC : AB = 5 : 5 : 6$.

5. Пусть $x$ — одна часть в данном соотношении. Тогда длины сторон треугольника можно выразить как:
$AC = 5x$ см,
$BC = 5x$ см,
$AB = 6x$ см.

6. Периметр треугольника $ABC$ равен сумме длин его сторон: $P_{ABC} = AB + BC + AC$.
По условию $P_{ABC} = 32$ см. Составим и решим уравнение:
$6x + 5x + 5x = 32$
$16x = 32$
$x = 32 / 16$
$x = 2$

7. Теперь найдем длины сторон треугольника:
$AC = 5x = 5 \cdot 2 = 10$ см.
$BC = 5x = 5 \cdot 2 = 10$ см.
$AB = 6x = 6 \cdot 2 = 12$ см.

Ответ: стороны треугольника равны $10$ см, $10$ см и $12$ см.