Номер 52, страница 83 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Перпендикулярные прямые. Вариант 4. Упражнения - номер 52, страница 83.

Учебник 2017.

52. Углы $FMN$ и $FMK$ равны, а точки $K$, $M$ и $N$ лежат на одной прямой. Докажите, что углы $FMN$ и $FMK$ прямые.

Учебник 2021.

52. Углы $FMN$ и $FMK$ равны, а точки $K$, $M$ и $N$ лежат на одной прямой. Докажите, что углы $FMN$ и $FMK$ прямые.

Решение.

Решение 2 (2021).

Поскольку точки K, M и N лежат на одной прямой, они образуют развернутый угол $\angle KMN$. Величина развернутого угла составляет $180^\circ$.

Луч FM делит развернутый угол $\angle KMN$ на два смежных угла: $\angle FMN$ и $\angle FMK$. Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$.

Следовательно, мы можем записать равенство:
$\angle FMN + \angle FMK = 180^\circ$

Согласно условию задачи, углы $\angle FMN$ и $\angle FMK$ равны:
$\angle FMN = \angle FMK$

Подставим в первое равенство $\angle FMN$ вместо равного ему угла $\angle FMK$:
$\angle FMN + \angle FMN = 180^\circ$
$2 \cdot \angle FMN = 180^\circ$

Разделив обе части уравнения на 2, найдем величину угла $\angle FMN$:
$\angle FMN = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$

Так как $\angle FMN = \angle FMK$, то и $\angle FMK = 90^\circ$.
Углы, равные $90^\circ$, являются прямыми. Таким образом, мы доказали, что углы $FMN$ и $FMK$ — прямые.

Ответ: Углы FMN и FMK являются смежными и в сумме дают $180^\circ$. Так как по условию они равны, то каждый из них равен $180^\circ / 2 = 90^\circ$, то есть они прямые.