Номер 46, страница 82 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

46. Угол между биссектрисой угла $MKP$ и лучом, дополнительным к стороне $KM$, равен $164^\circ$. Найдите угол $MKP$.

46. Угол между биссектрисой угла $MKP$ и лучом, дополнительным к стороне $KM$, равен $164^\circ$. Найдите угол $MKP$.

Пусть $KL$ — биссектриса угла $\angle MKP$, а $KN$ — луч, дополнительный к стороне $KM$.

Поскольку луч $KN$ является дополнительным к лучу $KM$, они вместе образуют прямую линию. Следовательно, угол $\angle NKM$ — развернутый, и его величина составляет $180^\circ$.

Из расположения лучей видно, что развернутый угол $\angle NKM$ состоит из двух смежных углов: угла $\angle NKL$ (угол между лучом $KN$ и биссектрисой $KL$) и угла $\angle LKM$.

Таким образом, можно записать равенство:

$\angle NKL + \angle LKM = \angle NKM = 180^\circ$

По условию задачи, угол между биссектрисой угла $\angle MKP$ и лучом, дополнительным к стороне $KM$, равен $164^\circ$. Это означает, что $\angle NKL = 164^\circ$.

Подставим известное значение в наше равенство:

$164^\circ + \angle LKM = 180^\circ$

Отсюда найдем величину угла $\angle LKM$:

$\angle LKM = 180^\circ - 164^\circ = 16^\circ$

Так как луч $KL$ является биссектрисой угла $\angle MKP$, он делит этот угол на два равных угла: $\angle LKM$ и $\angle LKP$. Следовательно, искомый угол $\angle MKP$ в два раза больше угла $\angle LKM$.

$\angle MKP = 2 \cdot \angle LKM = 2 \cdot 16^\circ = 32^\circ$

Ответ: $32^\circ$.