Номер 40, страница 81 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

40. На рисунке 214 угол $ \angle CTB $ равен $ 71^\circ $. Найдите углы $ \angle CTA $, $ \angle ATD $, $ \angle DTB $.

Рис. 214

40. На рисунке 214 $\angle CTB$ равен $71^\circ$. Найдите углы $\angle CTA$, $\angle ATD$, $\angle DTB$.

Рис. 214

На рисунке изображены две пересекающиеся в точке T прямые AB и CD. При пересечении двух прямых образуются пары смежных и вертикальных углов. Мы будем использовать их свойства для нахождения неизвестных углов.

• Вертикальные углы — это пары углов, у которых стороны одного являются продолжением сторон другого. Вертикальные углы равны.
• Смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга. Сумма смежных углов равна $ 180^\circ $.

По условию задачи, $ \angle CTB = 71^\circ $.

CTA
Углы $ \angle CTA $ и $ \angle CTB $ являются смежными, так как они вместе образуют развернутый угол $ \angle ATB $ на прямой AB. Сумма смежных углов составляет $ 180^\circ $.
Следовательно, $ \angle CTA + \angle CTB = 180^\circ $.
Чтобы найти $ \angle CTA $, вычтем известный угол из $ 180^\circ $:
$ \angle CTA = 180^\circ - \angle CTB $
$ \angle CTA = 180^\circ - 71^\circ = 109^\circ $
Ответ: $ \angle CTA = 109^\circ $.

ATD
Углы $ \angle ATD $ и $ \angle CTB $ являются вертикальными, так как они расположены друг напротив друга при пересечении прямых AB и CD. Вертикальные углы равны.
$ \angle ATD = \angle CTB $
$ \angle ATD = 71^\circ $
Ответ: $ \angle ATD = 71^\circ $.

DTB
Углы $ \angle DTB $ и $ \angle CTA $ являются вертикальными. Следовательно, они равны.
$ \angle DTB = \angle CTA $
Из первого пункта мы уже знаем, что $ \angle CTA = 109^\circ $, поэтому:
$ \angle DTB = 109^\circ $
Также этот угол можно найти как смежный с углом $ \angle CTB $ (они образуют прямую CD) или с углом $ \angle ATD $ (они образуют прямую AB).
$ \angle DTB + \angle CTB = 180^\circ $
$ \angle DTB = 180^\circ - 71^\circ = 109^\circ $
Ответ: $ \angle DTB = 109^\circ $.