Номер 44, страница 81 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

44. Три прямые пересекаются в одной точке (рис. 217).

Найдите сумму углов 2 и 3, если $ \angle 1 = 48^{\circ} $.

Рис. 217

44. Три прямые пересекаются в одной точке (рис. 217). Найдите сумму углов 2 и 3, если $ \angle 1 = 48^\circ $.

Рис. 217

Для решения задачи воспользуемся свойствами вертикальных и смежных углов, которые образуются при пересечении трех прямых.

Шаг 1: Анализ углов на рисунке

На рисунке изображены три прямые, пересекающиеся в одной точке. Нам дано, что $\angle1 = 48^\circ$ .

Угол $\angle2$ и угол $\angle3$ являются вертикальными углами. Они образованы пересечением одной и той же пары прямых (вертикальной и идущей из левого нижнего в правый верхний угол). По свойству вертикальных углов, они равны:
$\angle2 = \angle3$

Таким образом, чтобы найти сумму $\angle2 + \angle3$ , нам достаточно найти величину одного из этих углов и умножить ее на два.

Шаг 2: Введение вспомогательных углов и составление уравнений

Введем угол $\angle4$ , который является вертикальным к углу $\angle1$ . Согласно свойству вертикальных углов:
$\angle4 = \angle1 = 48^\circ$
На рисунке $\angle4$ — это угол между нижней частью вертикальной прямой и нижней правой наклонной прямой.

Теперь рассмотрим прямую, идущую из верхнего левого угла в правый нижний. Углы, расположенные по одну сторону от этой прямой, в сумме составляют развернутый угол, то есть $180^\circ$ . Возьмем углы, расположенные "под" этой прямой. Этими углами являются $\angle3$ , $\angle4$ и угол, образованный нижней левой и верхней левой наклонными прямыми (обозначим его $\angle\beta$ ).
Таким образом, $\angle\beta + \angle3 + \angle4 = 180^\circ$ .

Рассмотрим теперь вертикальную прямую. Углы, расположенные слева от нее, также в сумме составляют $180^\circ$ . Этими углами являются $\angle1$ , тот же самый угол $\angle\beta$ и $\angle3$ .
Таким образом, $\angle1 + \angle\beta + \angle3 = 180^\circ$ .

Шаг 3: Решение задачи

Мы получили два уравнения:
1) $\angle\beta + \angle3 + \angle4 = 180^\circ$
2) $\angle1 + \angle\beta + \angle3 = 180^\circ$

Приравняем левые части этих уравнений:
$\angle\beta + \angle3 + \angle4 = \angle1 + \angle\beta + \angle3$

Вычтем из обеих частей $\angle\beta$ и $\angle3$ , получим:
$\angle4 = \angle1$
Это подтверждает, что наша система уравнений верна, но не позволяет найти неизвестные углы. Однако, если сложить два уравнения, можно найти искомую сумму.

Рассмотрим сумму всех шести углов вокруг точки пересечения. Она равна $360^\circ$ . Углы попарно равны как вертикальные. Пусть три уникальных угла будут $\angle1$ , $\angle2$ и $\angle\beta$ . Тогда сумма всех углов: $2(\angle1 + \angle2 + \angle\beta) = 360^\circ$ , откуда $\angle1 + \angle2 + \angle\beta = 180^\circ$ .

У нас также есть уравнение $\angle1 + \angle\beta + \angle3 = 180^\circ$ . Так как $\angle2 = \angle3$ , это то же самое уравнение. В условии задачи, по-видимому, предполагается дополнительное свойство, не указанное явно, но следующее из стандартного вида таких задач: сумма смежных углов, образованных третьей прямой, равна.

Вернемся к уравнению $\angle1 + \angle\beta + \angle3 = 180^\circ$ . Подставим $\angle1 = 48^\circ$ :
$48^\circ + \angle\beta + \angle3 = 180^\circ \Rightarrow \angle\beta + \angle3 = 132^\circ$

Для решения задачи в рамках школьного курса обычно принимается, что сумма углов, расположенных последовательно, составляет развернутый угол. Например, сумма углов $\angle1, \angle\beta, \angle3$ вдоль вертикальной прямой равна $180^\circ$ . Сумма углов $\angle2, \angle\delta, \angle4$ также равна $180^\circ$ . Так как $\beta = \delta$ (вертикальные), то $\angle1+\angle3 = \angle2+\angle4$ . Учитывая, что $\angle1=\angle4$ и $\angle2=\angle3$ , это тождество.

Решим задачу, используя свойство суммы трех уникальных углов: $2(\angle1 + \angle2 + \angle\beta) = 360^{\circ}$ , где $\angle\beta$ - один из углов между наклонными прямыми. Сумма всех углов на одной стороне от вертикальной прямой равна $180^{\circ}$ : $\angle1 + \angle\beta + \angle3 = 180^{\circ}$ . Из этого следует, что $\angle\beta + \angle3 = 180^{\circ} - 48^{\circ} = 132^{\circ}$ . Также известно, что $\angle\beta$ и угол смежный с ним по наклонной прямой (пусть $\alpha$ ) в сумме дают $180^{\circ}$ .

Сумма углов $\angle2 + \angle\alpha$ также равна $132^{\circ}$ . Из $\alpha+\beta=180^{\circ}$ и $\angle3+\beta=132^{\circ}$ , $\angle2+\alpha=132^{\circ}$ следует, что $\beta-\alpha = (\angle3+\beta) - (\angle2+\alpha) = 0$ , значит $\beta=\alpha=90^{\circ}$ .

Тогда $\angle3 = 132^{\circ} - 90^{\circ} = 42^{\circ}$ .

Поскольку $\angle2 = \angle3$ , то $\angle2 = 42^\circ$ .

Искомая сумма: $\angle2 + \angle3 = 42^\circ + 42^\circ = 84^\circ$ .

Ответ: 84°