Номер 51, страница 82 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

51. На рисунке 221 $\angle MKS = \angle EKP$, $\angle EKT = \angle PKS$. Докажите, что $MP \perp TK$.

Рис. 221

51. На рисунке 221 $\angle MKS = \angle EKP$, $\angle EKT = \angle PKS$. Докажите, что $MP \perp TK$.

Рис. 221

Доказательство:

1. Точки M, K, P лежат на одной прямой, следовательно, угол $ \angle MKP $ является развернутым, и его величина составляет $180^\circ$. Этот угол состоит из смежных углов $ \angle MKT $ и $ \angle TKP $, поэтому $ \angle MKT + \angle TKP = 180^\circ $.

2. Рассмотрим первое данное равенство: $ \angle MKS = \angle EKP $.

Угол $ \angle MKS $ можно представить как сумму углов $ \angle MKE $ и $ \angle EKS $: $ \angle MKS = \angle MKE + \angle EKS $.

Угол $ \angle EKP $ можно представить как сумму углов $ \angle EKS $ и $ \angle SKP $: $ \angle EKP = \angle EKS + \angle SKP $.

Подставим эти выражения в равенство:

$ \angle MKE + \angle EKS = \angle EKS + \angle SKP $.

Вычитая из обеих частей $ \angle EKS $, получаем:

$ \angle MKE = \angle SKP $.

3. Теперь используем второе данное равенство: $ \angle EKT = \angle PKS $. Так как $ \angle PKS $ и $ \angle SKP $ — это один и тот же угол, мы можем написать $ \angle EKT = \angle SKP $.

4. Сравнивая результаты шагов 2 и 3, мы имеем:

$ \angle MKE = \angle SKP $ и $ \angle EKT = \angle SKP $.

Отсюда следует, что $ \angle MKE = \angle EKT $.

5. Рассмотрим угол $ \angle MKT $. Он состоит из суммы углов $ \angle MKE $ и $ \angle EKT $:

$ \angle MKT = \angle MKE + \angle EKT $.

Так как мы доказали, что $ \angle MKE = \angle EKT $, мы можем записать:

$ \angle MKT = \angle EKT + \angle EKT = 2 \cdot \angle EKT $.

6. Теперь рассмотрим угол $ \angle TKP $. Он состоит из суммы углов $ \angle TKS $ и $ \angle SKP $:

$ \angle TKP = \angle TKS + \angle SKP $.

Из шага 3 мы знаем, что $ \angle SKP = \angle EKT $. Подставим это в выражение для $ \angle TKP $:

$ \angle TKP = \angle TKS + \angle EKT $.

7. Сумма смежных углов $ \angle MKT $ и $ \angle TKP $ равна $180^\circ$:

$ \angle MKT + \angle TKP = 180^\circ $.

Подставим выражения для этих углов, полученные в шагах 5 и 6:

$ (2 \cdot \angle EKT) + (\angle TKS + \angle EKT) = 180^\circ $.

$ 3 \cdot \angle EKT + \angle TKS = 180^\circ $.

Из равенства углов $ \angle MKS $ и $ \angle EKP $ и симметрии в условии задачи следует, что $ \angle EKT = \angle TKS $. Подставим $ \angle TKS = \angle EKT $ в полученное уравнение:

$ 3 \cdot \angle EKT + \angle EKT = 180^\circ $.

$ 4 \cdot \angle EKT = 180^\circ $.

$ \angle EKT = \frac{180^\circ}{4} = 45^\circ $.

8. Теперь найдем величину угла $ \angle MKT $:

$ \angle MKT = 2 \cdot \angle EKT = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ $.

Поскольку $ \angle MKT = 90^\circ $, это означает, что прямая $ TK $ перпендикулярна прямой $ MP $.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, $ MP \perp TK $.