Номер 45, страница 82 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

45. На рисунке 218 $\angle CBA = \angle BDF$. Докажите, что $\angle ABK = \angle CDB$.

Рис. 218

45. На рисунке 218 $\angle CBA = \angle BDF$. Докажите, что $\angle ABK = \angle CDB$.

Рис. 218

Для доказательства равенства углов $ \angle ABK $ и $ \angle CDB $ воспользуемся свойством смежных углов.

1. Рассмотрим углы при точке B. Углы $ \angle ABK $ и $ \angle ABC $ являются смежными, так как точки K, B, C лежат на одной прямой. Сумма смежных углов равна $ 180^\circ $. Отсюда следует:
$ \angle ABK + \angle ABC = 180^\circ $
Выразим из этого равенства угол $ \angle ABK $:
$ \angle ABK = 180^\circ - \angle ABC $.

2. Рассмотрим углы при точке D. Углы $ \angle CDB $ и $ \angle BDF $ являются смежными, так как точки F, D, C лежат на одной прямой. Их сумма также равна $ 180^\circ $:
$ \angle CDB + \angle BDF = 180^\circ $
Выразим из этого равенства угол $ \angle CDB $:
$ \angle CDB = 180^\circ - \angle BDF $.

3. По условию задачи нам дано, что $ \angle CBA = \angle BDF $. Заметим, что $ \angle CBA $ и $ \angle ABC $ — это один и тот же угол.

4. Сравним выражения для $ \angle ABK $ и $ \angle CDB $.
Мы имеем:
$ \angle ABK = 180^\circ - \angle ABC $
$ \angle CDB = 180^\circ - \angle BDF $
Поскольку по условию $ \angle ABC = \angle BDF $, то правые части этих равенств равны. Следовательно, равны и левые части:
$ \angle ABK = \angle CDB $.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $ \angle ABK = \angle CDB $ доказано.