Номер 43, страница 81 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

43. Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, в 4 раза больше суммы смежных с ним углов. Найдите этот угол.

43. Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, в 4 раза больше суммы смежных с ним углов. Найдите этот угол.

Пусть при пересечении двух прямых образуются четыре угла. Обозначим искомый угол как $ \alpha $. Смежными с ним являются два угла, обозначим каждый из них как $ \beta $. Третий угол, вертикальный к $ \alpha $, будет также равен $ \alpha $. Два смежных угла, $ \beta $, равны между собой, так как они являются вертикальными.
Сумма смежных углов $ \alpha $ и $ \beta $ равна $180^\circ$.
$ \alpha + \beta = 180^\circ $
Из этого выражения можно выразить $ \beta $:
$ \beta = 180^\circ - \alpha $
По условию задачи, угол $ \alpha $ в 4 раза больше суммы смежных с ним углов. Сумма смежных с $ \alpha $ углов равна $ \beta + \beta = 2\beta $.
Составим уравнение на основе условия:
$ \alpha = 4 \cdot (\beta + \beta) $
$ \alpha = 4 \cdot (2\beta) $
$ \alpha = 8\beta $
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
$ \left\{ \begin{array}{l} \alpha + \beta = 180^\circ \\ \alpha = 8\beta \end{array} \right. $
Подставим второе уравнение в первое, чтобы найти значение $ \beta $:
$ 8\beta + \beta = 180^\circ $
$ 9\beta = 180^\circ $
$ \beta = \frac{180^\circ}{9} $
$ \beta = 20^\circ $
Теперь, зная $ \beta $, найдем искомый угол $ \alpha $:
$ \alpha = 8\beta = 8 \cdot 20^\circ = 160^\circ $
Проверка: Сумма смежных углов равна $ 20^\circ + 20^\circ = 40^\circ $. Искомый угол $ 160^\circ $. Проверим, больше ли он в 4 раза: $ 4 \cdot 40^\circ = 160^\circ $. Условие выполняется.
Ответ: $160^\circ$