Номер 79, страница 86 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

79. Докажите равенство равнобедренных треугольников по основанию и биссектрисе треугольника, проведённой из вершины равнобедренного треугольника.

79. Докажите равенство равнобедренных треугольников по основанию и биссектрисе треугольника, проведённой из вершины равнобедренного треугольника.

Для доказательства равенства двух равнобедренных треугольников по основанию и биссектрисе, проведенной из вершины, рассмотрим два таких треугольника: $ \triangle ABC $ с основанием $ AC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ с основанием $ A_1C_1 $. Пусть $ BD $ — биссектриса $ \triangle ABC $, проведенная из вершины $ B $, а $ B_1D_1 $ — биссектриса $ \triangle A_1B_1C_1 $, проведенная из вершины $ B_1 $.

Согласно условию задачи, основания треугольников равны, то есть $ AC = A_1C_1 $, и проведенные к ним биссектрисы также равны: $ BD = B_1D_1 $.

Ключевым свойством равнобедренного треугольника является то, что биссектриса, проведенная из вершины к основанию, одновременно является медианой и высотой этого треугольника.

Применим это свойство к $ \triangle ABC $. Поскольку $ BD $ — биссектриса, она также является медианой, а значит, делит основание $ AC $ пополам в точке $ D $. Таким образом, $ AD = DC = \frac{1}{2} AC $. Кроме того, $ BD $ является высотой, то есть $ BD \perp AC $, из чего следует, что $ \angle BDA = 90^\circ $.

Аналогичные выводы справедливы и для $ \triangle A_1B_1C_1 $. Биссектриса $ B_1D_1 $ является также медианой и высотой. Следовательно, $ A_1D_1 = D_1C_1 = \frac{1}{2} A_1C_1 $ и $ \angle B_1D_1A_1 = 90^\circ $.

Теперь сравним прямоугольные треугольники $ \triangle BDA $ и $ \triangle B_1D_1A_1 $. Мы знаем, что их катеты $ BD $ и $ B_1D_1 $ равны по условию ($ BD = B_1D_1 $). Также равны их вторые катеты $ AD $ и $ A_1D_1 $, поскольку по условию $ AC = A_1C_1 $, а из доказанного выше $ AD = \frac{1}{2} AC $ и $ A_1D_1 = \frac{1}{2} A_1C_1 $.

Поскольку два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого, треугольники $ \triangle BDA $ и $ \triangle B_1D_1A_1 $ равны.

Из равенства треугольников $ \triangle BDA $ и $ \triangle B_1D_1A_1 $ следует равенство их гипотенуз: $ AB = A_1B_1 $. Гипотенузы этих прямоугольных треугольников являются боковыми сторонами исходных равнобедренных треугольников.

Так как $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ — равнобедренные, то $ AB = BC $ и $ A_1B_1 = B_1C_1 $. Из этого и доказанного равенства $ AB = A_1B_1 $ следует, что и вторые боковые стороны равны: $ BC = B_1C_1 $.

Таким образом, мы установили, что все три стороны $ \triangle ABC $ соответственно равны трем сторонам $ \triangle A_1B_1C_1 $: $ AB = A_1B_1 $, $ BC = B_1C_1 $ и $ AC = A_1C_1 $.

По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), $ \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 $. Утверждение доказано.

Ответ: Равенство равнобедренных треугольников по основанию и биссектрисе, проведенной из вершины, доказывается с использованием свойства этой биссектрисы, которая также является медианой и высотой. Это позволяет разбить каждый треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Сравнивая эти прямоугольные треугольники из разных исходных треугольников, мы доказываем их равенство по двум катетам, из чего следует равенство боковых сторон исходных треугольников. В итоге, исходные треугольники оказываются равными по третьему признаку (по трем сторонам).