Номер 91, страница 88 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

91. Докажите, что прямые $m$ и $k$ параллельны (рис. 239).

Рис. 239

$m \perp a$

$n \perp a$

$n \perp b$

$k \perp b$

91. Докажите, что прямые $m$ и $k$ параллельны (рис. 239).

Рис. 239

Для доказательства того, что прямые $m$ и $k$ параллельны, необходимо последовательно применить теоремы о параллельности прямых.

Сначала рассмотрим прямые $m$ и $n$, а также секущую $a$. Из условия, представленного на рисунке, мы видим, что прямая $m$ перпендикулярна прямой $a$ ($m \perp a$), и прямая $n$ также перпендикулярна прямой $a$ ($n \perp a$). Согласно теореме о двух прямых, перпендикулярных третьей, если две прямые на плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны. Следовательно, $m \parallel n$.

Теперь рассмотрим прямые $n$ и $k$, а также секущую $b$. Аналогично, из рисунка следует, что прямая $n$ перпендикулярна прямой $b$ ($n \perp b$), и прямая $k$ перпендикулярна прямой $b$ ($k \perp b$). Применяя ту же самую теорему, мы можем заключить, что $n \parallel k$.

Итак, мы установили два факта: $m \parallel n$ и $n \parallel k$. Теперь воспользуемся свойством транзитивности параллельных прямых (которое является следствием из аксиомы параллельности): если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой. Поскольку и прямая $m$, и прямая $k$ параллельны одной и той же прямой $n$, они параллельны друг другу. Таким образом, $m \parallel k$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Из того, что $m \perp a$ и $n \perp a$, следует, что $m \parallel n$. Из того, что $n \perp b$ и $k \perp b$, следует, что $n \parallel k$. Так как $m \parallel n$ и $n \parallel k$, то по свойству транзитивности параллельных прямых $m \parallel k$.