Номер 106, страница 91 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

106. Найдите на рисунке 249 неизвестные углы треугольника FKE.

Рис. 249

a

Треугольник с вершинами F, K, E.

Угол при вершине K: $106^\circ$.

Внешний угол при вершине F: $17^\circ$.

б

Треугольник с вершинами F, K, E.

Угол при вершине K: $54^\circ$.

Внешний угол при вершине E: $146^\circ$.

в

Треугольник с вершинами F, K, E.

Внешний угол при вершине K: $103^\circ$.

Внешний угол при вершине E: $137^\circ$.

106. Найдите на рисунке 249 неизвестные углы треугольника $FKE$.

Рис. 249

$17^\circ$, $106^\circ$

$54^\circ$, $146^\circ$

$103^\circ$, $137^\circ$

а
Внутренний угол треугольника при вершине F, $\angle KFE$, и угол $17^\circ$ являются вертикальными углами, а значит, они равны. Следовательно, $\angle KFE = 17^\circ$.
Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$. Зная два угла треугольника, $\angle FKE = 106^\circ$ и $\angle KFE = 17^\circ$, мы можем найти третий угол $\angle FEK$:
$\angle FEK = 180^\circ - (\angle FKE + \angle KFE)$
$\angle FEK = 180^\circ - (106^\circ + 17^\circ) = 180^\circ - 123^\circ = 57^\circ$.
Неизвестные углы: $\angle KFE$ и $\angle FEK$.
Ответ: $\angle KFE = 17^\circ$, $\angle FEK = 57^\circ$.

б
Внутренний угол треугольника при вершине E, $\angle FEK$, и внешний угол $146^\circ$ являются смежными, их сумма равна $180^\circ$. Найдем $\angle FEK$:
$\angle FEK = 180^\circ - 146^\circ = 34^\circ$.
Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Зная два угла, $\angle FKE = 54^\circ$ и $\angle FEK = 34^\circ$, найдем третий угол $\angle KFE$:
$\angle KFE = 180^\circ - (\angle FKE + \angle FEK)$
$\angle KFE = 180^\circ - (54^\circ + 34^\circ) = 180^\circ - 88^\circ = 92^\circ$.
Неизвестные углы: $\angle FEK$ и $\angle KFE$.
Ответ: $\angle FEK = 34^\circ$, $\angle KFE = 92^\circ$.

в
Внутренний угол треугольника при вершине K, $\angle FKE$, смежный с внешним углом $103^\circ$. Их сумма равна $180^\circ$.
$\angle FKE = 180^\circ - 103^\circ = 77^\circ$.
Внутренний угол треугольника при вершине E, $\angle FEK$, смежный с внешним углом $137^\circ$. Их сумма равна $180^\circ$.
$\angle FEK = 180^\circ - 137^\circ = 43^\circ$.
Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Зная два угла, $\angle FKE = 77^\circ$ и $\angle FEK = 43^\circ$, найдем третий угол $\angle KFE$:
$\angle KFE = 180^\circ - (\angle FKE + \angle FEK)$
$\angle KFE = 180^\circ - (77^\circ + 43^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
Неизвестные углы: $\angle FKE$, $\angle FEK$ и $\angle KFE$.
Ответ: $\angle FKE = 77^\circ$, $\angle FEK = 43^\circ$, $\angle KFE = 60^\circ$.