Номер 118, страница 92 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

118. В треугольнике $ABC$ проведены высота $AH$ и биссектриса $AM$. Найдите угол $HAM$, если $\angle BAC = 28^\circ$, $\angle ABC = 78^\circ$.

118. В треугольнике $ABC$ проведены высота $AH$ и биссектриса $AM$. Найдите угол $HAM$, если $\angle BAC = 28^\circ$, $\angle ABC = 78^\circ$.

Для нахождения угла $HAM$ необходимо последовательно найти величины углов $BAM$ и $BAH$.

1. Нахождение угла $BAM$

По условию, отрезок $AM$ является биссектрисой угла $BAC$. Биссектриса делит угол на два равных угла. Следовательно, угол $BAM$ равен половине угла $BAC$.

$\angle BAM = \frac{\angle BAC}{2} = \frac{28^\circ}{2} = 14^\circ$.

2. Нахождение угла $BAH$

По условию, $AH$ — высота, проведенная к стороне $BC$. Это означает, что $AH$ перпендикулярна $BC$, и треугольник $ABH$ является прямоугольным, где $\angle AHB = 90^\circ$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Отсюда можем найти угол $BAH$:

$\angle BAH + \angle ABH = 90^\circ$

Угол $\angle ABH$ совпадает с углом $\angle ABC$ треугольника, который по условию равен $78^\circ$.

$\angle BAH + 78^\circ = 90^\circ$

$\angle BAH = 90^\circ - 78^\circ = 12^\circ$.

3. Нахождение угла $HAM$

Искомый угол $HAM$ — это угол между высотой $AH$ и биссектрисой $AM$. Его можно найти как разность между углами $BAM$ и $BAH$.

$\angle HAM = \angle BAM - \angle BAH$

Подставим найденные значения:

$\angle HAM = 14^\circ - 12^\circ = 2^\circ$.

Ответ: $2^\circ$