Номер 119, страница 92 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

119. Один из углов треугольника равен $130^{\circ}$. Высота и биссектриса, проведённые из вершины этого угла, образуют угол, равный $10^{\circ}$. Найдите неизвестные углы треугольника.

119. Один из углов треугольника равен $130^{\circ}$. Высота и биссектриса, проведённые из вершины этого угла, образуют угол, равный $10^{\circ}$. Найдите неизвестные углы треугольника.

Пусть дан треугольник $ABC$, в котором один из углов, например $\angle B$, равен $130^\circ$. Из вершины $B$ проведены высота $BH$ (где $H$ — точка на прямой $AC$) и биссектриса $BL$ (где $L$ — точка на стороне $AC$). По условию, угол между высотой и биссектрисой $\angle HBL = 10^\circ$.

Биссектриса $BL$ делит угол $\angle B$ на два равных угла:
$\angle ABL = \angle LBC = \frac{\angle B}{2} = \frac{130^\circ}{2} = 65^\circ$.

Поскольку угол $\angle B = 130^\circ$ является тупым, два других угла треугольника, $\angle A$ и $\angle C$, обязательно будут острыми (их сумма равна $180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$). В тупоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины тупого угла, падает на противолежащую сторону, то есть точка $H$ лежит между $A$ и $C$.

Высота $BH$ может располагаться либо между стороной $BA$ и биссектрисой $BL$, либо между биссектрисой $BL$ и стороной $BC$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: Высота $BH$ находится между стороной $BA$ и биссектрисой $BL$.
В этом случае $\angle ABH$ равен разности углов $\angle ABL$ и $\angle HBL$:
$\angle ABH = \angle ABL - \angle HBL = 65^\circ - 10^\circ = 55^\circ$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (с прямым углом $\angle BHA$). Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, поэтому:
$\angle A = 90^\circ - \angle ABH = 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ$.
Сумма всех углов в треугольнике $ABC$ равна $180^\circ$. Найдем третий угол $\angle C$:
$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 35^\circ - 130^\circ = 15^\circ$.

Случай 2: Высота $BH$ находится между биссектрисой $BL$ и стороной $BC$.
В этом случае $\angle HBC$ равен разности углов $\angle LBC$ и $\angle HBL$:
$\angle HBC = \angle LBC - \angle HBL = 65^\circ - 10^\circ = 55^\circ$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $CBH$ (с прямым углом $\angle BHC$). Найдем угол $\angle C$:
$\angle C = 90^\circ - \angle HBC = 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ$.
Найдем третий угол $\angle A$:
$\angle A = 180^\circ - \angle C - \angle B = 180^\circ - 35^\circ - 130^\circ = 15^\circ$.

В обоих случаях мы получаем, что неизвестные углы треугольника равны $15^\circ$ и $35^\circ$.

Ответ: $15^\circ, 35^\circ$.