Номер 116, страница 92 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

116. Биссектрисы углов $M$ и $P$ треугольника $MPK$ пересекаются в точке $O$. Найдите угол $MKP$, если $\angle MOP = 145^\circ$.

116. Биссектрисы углов $M$ и $P$ треугольника $MPK$ пересекаются в точке $O$. Найдите угол $MKP$, если $\angle MOP = 145^\circ$.

Рассмотрим треугольник $MOP$, который образован пересечением биссектрис. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Поэтому для треугольника $MOP$ справедливо равенство:
$\angle OMP + \angle OPM + \angle MOP = 180^\circ$

По условию задачи, $\angle MOP = 145^\circ$. Подставим это значение в уравнение и найдем сумму двух других углов треугольника $MOP$:
$\angle OMP + \angle OPM + 145^\circ = 180^\circ$
$\angle OMP + \angle OPM = 180^\circ - 145^\circ$
$\angle OMP + \angle OPM = 35^\circ$

Поскольку $MO$ и $PO$ — это биссектрисы углов $\angle KMP$ и $\angle KPM$ соответственно, они делят эти углы пополам. Следовательно:
$\angle OMP = \frac{1}{2} \angle KMP$
$\angle OPM = \frac{1}{2} \angle KPM$

Подставим эти выражения в равенство для суммы углов $\angle OMP$ и $\angle OPM$:
$\frac{1}{2} \angle KMP + \frac{1}{2} \angle KPM = 35^\circ$
Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:
$\frac{1}{2} (\angle KMP + \angle KPM) = 35^\circ$

Чтобы найти сумму углов $\angle KMP$ и $\angle KPM$ в исходном треугольнике $MPK$, умножим обе части последнего равенства на 2:
$\angle KMP + \angle KPM = 2 \cdot 35^\circ = 70^\circ$

Теперь рассмотрим исходный треугольник $MPK$. Сумма его углов также равна $180^\circ$:
$\angle MKP + \angle KMP + \angle KPM = 180^\circ$

Мы уже вычислили, что сумма углов $\angle KMP + \angle KPM$ равна $70^\circ$. Подставим это значение в уравнение:
$\angle MKP + 70^\circ = 180^\circ$
Отсюда находим искомый угол $\angle MKP$:
$\angle MKP = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$

Ответ: $110^\circ$.