Номер 120, страница 92 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

120. В прямоугольном треугольнике $ABC$ $(\angle C = 90^\circ$) проведена биссектриса $BD$. Найдите острые углы треугольника $ABC$, если $\angle ADB = 110^\circ$.

120. В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) проведена биссектриса $BD$. Найдите острые углы треугольника $ABC$, если $\angle ADB = 110^\circ$.

Дано: треугольник $ABC$, $\angle C = 90^\circ$, $BD$ — биссектриса $\angle B$, $\angle ADB = 110^\circ$.

Найти: острые углы $\angle A$ и $\angle B$.

Решение:

1. Рассмотрим углы $\angle ADB$ и $\angle BDC$. Эти углы являются смежными, так как они лежат на одной прямой $AC$ и имеют общую сторону $BD$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

$\angle BDC = 180^\circ - \angle ADB$

Подставим известное значение $\angle ADB = 110^\circ$:

$\angle BDC = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$

2. Теперь рассмотрим треугольник $BDC$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. В треугольнике $BDC$ нам известны два угла: $\angle C = 90^\circ$ (по условию) и $\angle BDC = 70^\circ$ (из п.1). Найдем третий угол, $\angle DBC$:

$\angle DBC = 180^\circ - (\angle C + \angle BDC)$

$\angle DBC = 180^\circ - (90^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 160^\circ = 20^\circ$

3. По условию, отрезок $BD$ является биссектрисой угла $\angle ABC$. Биссектриса делит угол на два равных угла. Следовательно:

$\angle ABC = 2 \cdot \angle DBC$

$\angle ABC = 2 \cdot 20^\circ = 40^\circ$

Таким образом, мы нашли один из острых углов треугольника $ABC$: $\angle B = 40^\circ$.

4. В прямоугольном треугольнике $ABC$ сумма острых углов равна $90^\circ$.

$\angle A + \angle B = 90^\circ$

Найдем угол $\angle A$:

$\angle A = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$

Итак, острые углы треугольника $ABC$ равны $40^\circ$ и $50^\circ$.

Ответ: острые углы треугольника равны $40^\circ$ и $50^\circ$.