Номер 117, страница 92 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

117. Один из углов, образованных при пересечении биссектрис двух углов равнобедренного треугольника, равен $128^\circ$. Найдите углы треугольника. Сколько решений имеет задача?

117. Один из углов, образованных при пересечении биссектрис двух углов равнобедренного треугольника, равен $128^\circ$. Найдите углы треугольника. Сколько решений имеет задача?

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов треугольника составляет $180^\circ$. Рассмотрим два возможных случая, которые зависят от того, биссектрисы каких углов пересекаются.

Случай 1. Пересекаются биссектрисы углов при основании.

Пусть углы при основании равнобедренного треугольника равны $\alpha$, а угол при вершине — $\beta$. Биссектрисы углов при основании образуют с основанием треугольник, два угла которого равны $\frac{\alpha}{2}$. Третий угол этого треугольника, являющийся углом пересечения биссектрис, равен $180^\circ - (\frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2}) = 180^\circ - \alpha$.

При пересечении двух прямых образуются два смежных угла, один из которых острый, а другой — тупой (если они не прямые). По условию, один из углов равен $128^\circ$, следовательно, это тупой угол. Таким образом, угол, образованный пересечением биссектрис внутри треугольника, должен быть равен $128^\circ$ (если он тупой) или $180^\circ - 128^\circ = 52^\circ$ (если он острый).

Если предположить, что $180^\circ - \alpha = 52^\circ$, то $\alpha = 128^\circ$. Сумма двух таких углов $128^\circ + 128^\circ = 256^\circ$ превышает $180^\circ$, что для треугольника невозможно. Значит, угол пересечения биссектрис равен $128^\circ$.
$180^\circ - \alpha = 128^\circ$.
Отсюда $\alpha = 180^\circ - 128^\circ = 52^\circ$.
Углы при основании треугольника равны по $52^\circ$.
Угол при вершине $\beta = 180^\circ - 2 \cdot 52^\circ = 180^\circ - 104^\circ = 76^\circ$.
Проверка: $52^\circ + 52^\circ + 76^\circ = 180^\circ$.
Ответ: углы треугольника равны $52^\circ, 52^\circ, 76^\circ$.

Случай 2. Пересекаются биссектриса угла при основании и биссектриса угла при вершине.

Пусть углы при основании по-прежнему равны $\alpha$, а угол при вершине — $\beta$. Биссектрисы угла при основании и угла при вершине образуют треугольник, два угла которого равны $\frac{\alpha}{2}$ и $\frac{\beta}{2}$. Третий угол этого треугольника, образованный пересечением биссектрис, равен $180^\circ - (\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2})$.

Зная, что $2\alpha + \beta = 180^\circ$, выразим угол пересечения:
Угол = $180^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2} = 180^\circ - \frac{\alpha + (180^\circ - 2\alpha)}{2} = 180^\circ - \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 180^\circ - 90^\circ + \frac{\alpha}{2} = 90^\circ + \frac{\alpha}{2}$.

Поскольку угол $\alpha$ в треугольнике положителен ($\alpha>0$), то угол $90^\circ + \frac{\alpha}{2}$ всегда будет тупым. Следовательно, он и равен $128^\circ$.
$90^\circ + \frac{\alpha}{2} = 128^\circ$
$\frac{\alpha}{2} = 128^\circ - 90^\circ = 38^\circ$
$\alpha = 76^\circ$.
Углы при основании треугольника равны по $76^\circ$.
Угол при вершине $\beta = 180^\circ - 2 \cdot 76^\circ = 180^\circ - 152^\circ = 28^\circ$.
Проверка: $76^\circ + 76^\circ + 28^\circ = 180^\circ$.
Ответ: углы треугольника равны $76^\circ, 76^\circ, 28^\circ$.

Поскольку оба рассмотренных случая приводят к допустимым, но разным наборам углов, задача имеет два решения.