Номер 136, страница 94 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

136. Прямоугольные треугольники $NKF (\angle N = 90^\circ)$ и $NKS (\angle K = 90^\circ)$ имеют общий катет $NK$, а точки $F$ и $S$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $NK$. Докажите, что если $KF = NS$, то прямые $KF$ и $NS$ параллельны.

136. Прямоугольные треугольники NKF ($\angle N = 90^\circ$) и NKS ($\angle K = 90^\circ$) имеют общий катет NK, а точки F и S лежат в разных полуплоскостях относительно прямой NK. Докажите, что если $KF = NS$, то прямые KF и NS параллельны.

Дано:

$\triangle NKF$ и $\triangle NKS$ — прямоугольные треугольники.

В $\triangle NKF$: $\angle FNK = 90^\circ$.

В $\triangle NKS$: $\angle NKS = 90^\circ$.

$NK$ — общий катет.

Точки $F$ и $S$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $NK$.

$KF = NS$.

Доказать:

$KF \parallel NS$.

Доказательство:

1. Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle FNK$ и $\triangle SKN$.

2. В треугольнике $\triangle FNK$ угол $\angle FNK = 90^\circ$. Следовательно, $NF$ и $NK$ являются катетами, а $KF$ — гипотенузой. По теореме Пифагора:

$KF^2 = NF^2 + NK^2$

3. В треугольнике $\triangle NKS$ угол $\angle NKS = 90^\circ$. Следовательно, $NK$ и $KS$ являются катетами, а $NS$ — гипотенузой. По теореме Пифагора:

$NS^2 = NK^2 + KS^2$

4. Из условия задачи известно, что $KF = NS$. Если равны длины отрезков, то равны и их квадраты: $KF^2 = NS^2$.

5. Приравняем правые части выражений для $KF^2$ и $NS^2$:

$NF^2 + NK^2 = NK^2 + KS^2$

6. Вычтем из обеих частей равенства $NK^2$:

$NF^2 = KS^2$

Так как длины отрезков — величины положительные, отсюда следует, что $NF = KS$.

7. Теперь рассмотрим четырехугольник $FKSN$. Из условия задачи нам дано, что $NF \perp NK$ (так как $\angle FNK = 90^\circ$) и $KS \perp NK$ (так как $\angle NKS = 90^\circ$).

8. Согласно свойству, если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны между собой. Следовательно, $NF \parallel KS$.

9. Мы установили, что в четырехугольнике $FKSN$ две противоположные стороны $NF$ и $KS$ равны ($NF = KS$) и параллельны ($NF \parallel KS$). По признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

10. Так как $FKSN$ — параллелограмм, то его другие противоположные стороны, $KF$ и $NS$, также параллельны.

Следовательно, $KF \parallel NS$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, прямые $KF$ и $NS$ параллельны.