Номер 140, страница 94 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

140. Стороны прямоугольного треугольника и высота, проведенная к гипотенузе, равны 12 см, 15 см, 20 см и 25 см. Укажите длины катетов этого треугольника, гипотенузы и высоты, проведенной к гипотенузе.

140. Стороны прямоугольного треугольника и высота, проведённая к гипотенузе, равны 12 см, 15 см, 20 см и 25 см. Укажите длины катетов этого треугольника, гипотенузы и высоты, проведённой к гипотенузе.

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как $a$ и $b$, гипотенузу как $c$, а высоту, проведённую к гипотенузе, как $h$. Нам дан набор из четырех длин: 12 см, 15 см, 20 см и 25 см, которые соответствуют этим четырем отрезкам. Для определения, какая длина какому отрезку соответствует, воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника.

Гипотенуза

В любом прямоугольном треугольнике гипотенуза является самой длинной стороной ($c > a$ и $c > b$). Следовательно, из предложенного набора чисел {12, 15, 20, 25} гипотенуза $c$ должна иметь наибольшую длину.

Ответ: гипотенуза равна 25 см.

Высота, проведённая к гипотенузе

Высота, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, всегда короче каждого из катетов ($h < a$ и $h < b$). Это следует из того, что в маленьких прямоугольных треугольниках, на которые высота делит исходный, эта высота является катетом, а катеты исходного треугольника ($a$ и $b$) — гипотенузами. Таким образом, высота $h$ должна быть самым коротким отрезком из всех четырех.

Ответ: высота, проведённая к гипотенузе, равна 12 см.

Катеты

Оставшиеся два числа из набора, 15 см и 20 см, являются длинами катетов $a$ и $b$. Для проверки правильности нашего распределения используем два ключевых свойства прямоугольного треугольника:

1. Теорема Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы ($a^2 + b^2 = c^2$).
Проверим: $15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625$.
Квадрат гипотенузы: $25^2 = 625$.
Равенство $625 = 625$ выполняется, значит, стороны определены верно.

2. Формула площади через катеты и через высоту к гипотенузе: $S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch$, откуда следует $ab = ch$.
Проверим: $15 \cdot 20 = 300$.
Произведение гипотенузы на высоту: $25 \cdot 12 = 300$.
Равенство $300 = 300$ также выполняется, что подтверждает наш вывод.

Ответ: катеты равны 15 см и 20 см.