Номер 141, страница 94 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Свойства прямоугольного треугольника. Вариант 4. Упражнения - номер 141, страница 94.

Учебник 2017.

141. На рисунке 254 $\angle FEK = 90^\circ$, $\angle EDK = 90^\circ$. Докажите, что $FK > DE$.

Рис. 254

Учебник 2021.

141. На рисунке 254 $\angle FEK = 90^\circ$, $\angle EDK = 90^\circ$. Докажите, что $FK > DE$.

Рис. 254

Решение.

Решение 2 (2021).

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник $FEK$. По условию задачи $\angle FEK = 90^{\circ}$, следовательно, $\triangle FEK$ является прямоугольным. В прямоугольном треугольнике сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой и является самой длинной стороной. В $\triangle FEK$ гипотенузой является сторона $FK$, а сторона $EK$ — катетом. Таким образом, справедливо неравенство: $FK > EK$.

2. Теперь рассмотрим треугольник $EDK$. По условию задачи $\angle EDK = 90^{\circ}$, следовательно, $\triangle EDK$ также является прямоугольным. В этом треугольнике сторона $EK$ лежит напротив прямого угла, значит, $EK$ — это гипотенуза, а сторона $DE$ — катет. Таким образом, справедливо неравенство: $EK > DE$.

3. Мы получили систему из двух неравенств:
$FK > EK$
$EK > DE$
По свойству транзитивности неравенств (если $a > b$ и $b > c$, то $a > c$), из этих двух неравенств следует, что $FK > DE$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $FK > DE$.