Номер 142, страница 94 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

142. Из точки C к прямой AB проведены наклонные $CA$ и $CB$ и перпендикуляр $CD$ так, что точка $D$ лежит между точками $A$ и $B$ и $\angle CBD = 59^\circ$. Сравните отрезки $AC$ и $BD$.

142. Из точки $C$ к прямой $AB$ проведены наклонные $CA$ и $CB$ и перпендикуляр $CD$ так, что точка $D$ лежит между точками $A$ и $B$ и $\angle CBD = 59^\circ$. Сравните отрезки $AC$ и $BD$.

По условию, из точки $C$ к прямой $AB$ проведен перпендикуляр $CD$, значит, треугольники $ΔCDA$ и $ΔCDB$ являются прямоугольными, где $\angle CDA = \angle CDB = 90^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ΔCDB$. Нам известны два его угла: $\angle CDB = 90^\circ$ и $\angle CBD = 59^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому мы можем найти третий угол, $\angle DCB$:

$\angle DCB = 180^\circ - \angle CDB - \angle CBD = 180^\circ - 90^\circ - 59^\circ = 31^\circ$.

В треугольнике напротив большего угла лежит большая сторона. Сравним катеты $CD$ и $BD$ в треугольнике $ΔCDB$. Катет $CD$ лежит напротив угла $\angle CBD = 59^\circ$. Катет $BD$ лежит напротив угла $\angle DCB = 31^\circ$.

Так как $\angle CBD > \angle DCB$ ($59^\circ > 31^\circ$), то сторона, лежащая напротив большего угла, длиннее. Следовательно, $CD > BD$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ΔCDA$. В этом треугольнике отрезок $AC$ является гипотенузой, а $CD$ — катетом. В любом прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее любого из катетов, поэтому $AC > CD$.

Мы получили два неравенства: $AC > CD$ и $CD > BD$. Используя свойство транзитивности для неравенств, мы можем заключить, что $AC > BD$.

Ответ: $AC > BD$.