Номер 145, страница 94 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

145. В прямоугольном треугольнике $ABC$ $(\angle C = 90^\circ)$ провели высоту $CD$. Найдите угол $BCD$, если $AB = 10$ см, $BC = 5$ см.

145. В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) провели высоту $CD$. Найдите угол $BCD$, если $AB = 10$ см, $BC = 5$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$. По условию, $\angle C = 90^\circ$, гипотенуза $AB = 10$ см, катет $BC = 5$ см.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ можно найти величину острого угла $B$ (также известного как $\angle ABC$) с помощью тригонометрических соотношений. Используем определение косинуса, который равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

$\cos(\angle B) = \frac{BC}{AB}$

Подставим известные значения длин сторон:

$\cos(\angle B) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

Угол, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $60^\circ$. Следовательно, $\angle B = 60^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $BCD$. По условию, $CD$ — это высота, проведенная из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$. Это означает, что отрезок $CD$ перпендикулярен стороне $AB$, и, следовательно, $\angle CDB = 90^\circ$.

Таким образом, треугольник $BCD$ также является прямоугольным.

Сумма острых углов в любом прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. В треугольнике $BCD$ острыми углами являются $\angle B$ и $\angle BCD$. Значит, их сумма равна $90^\circ$:

$\angle B + \angle BCD = 90^\circ$

Мы уже определили, что $\angle B = 60^\circ$. Подставим это значение в полученное равенство:

$60^\circ + \angle BCD = 90^\circ$

Чтобы найти искомый угол $\angle BCD$, вычтем $60^\circ$ из $90^\circ$:

$\angle BCD = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$

Ответ: $30^\circ$.