Номер 157, страница 96 - гдз по геометрии 7 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

157. На одной из сторон тупого угла отмечены точки $M$ и $N$. Найдите ГМТ, равноудалённых от точек $M$ и $N$ и находящихся на расстоянии 3 см от прямой, содержащей вторую сторону угла.

157. На одной из сторон тупого угла отмечены точки $M$ и $N$. Найдите ГМТ, равноудалённых от точек $M$ и $N$ и находящихся на расстоянии 3 см от прямой, содержащей вторую сторону угла.

Для нахождения искомого геометрического места точек (ГМТ) необходимо определить множество точек, удовлетворяющих двум независимым условиям, и найти их пересечение.

Первое условие: равноудаленность от точек M и N

Геометрическое место точек, равноудаленных от двух заданных точек $M$ и $N$, представляет собой серединный перпендикуляр к отрезку $MN$. Обозначим эту прямую как $p$. Эта прямая перпендикулярна прямой, содержащей сторону угла с точками $M$ и $N$.

Второе условие: расстояние 3 см от прямой, содержащей вторую сторону угла

Пусть прямая, содержащая вторую сторону угла, обозначена как $l$. Геометрическое место точек, находящихся на постоянном расстоянии (3 см) от прямой $l$, — это две прямые, $l_1$ и $l_2$, параллельные прямой $l$ и расположенные на расстоянии 3 см от нее по обе стороны.

Построение искомого ГМТ

Искомое ГМТ — это пересечение множеств точек, удовлетворяющих обоим условиям. Таким образом, нам нужно найти точки пересечения прямой $p$ (серединного перпендикуляра) с парой прямых $l_1$ и $l_2$.

Пусть прямая, на которой лежат точки $M$ и $N$, — это прямая $a$. Тогда $p \perp a$. Прямые $l_1$ и $l_2$ параллельны прямой $l$. В условии сказано, что угол, образованный прямыми $a$ и $l$, — тупой. Это значит, что угол между прямыми $a$ и $l$ не равен $90^\circ$.

Так как $p \perp a$, а $a$ и $l$ не перпендикулярны, то прямая $p$ не может быть параллельна прямой $l$. А раз прямая $p$ не параллельна $l$, она не параллельна и прямым $l_1$ и $l_2$.

Любые две непараллельные прямые на плоскости пересекаются в одной точке. Следовательно, прямая $p$ пересечет прямую $l_1$ в одной точке, и прямую $l_2$ — в другой. Эти две точки и будут составлять искомое ГМТ.

Ответ: Искомое геометрическое место точек состоит из двух точек. Они являются точками пересечения серединного перпендикуляра к отрезку $MN$ с двумя прямыми, которые параллельны прямой, содержащей вторую сторону угла, и находятся на расстоянии 3 см от нее.