Номер 10, страница 15, часть 2 - гдз по физике 8 класс рабочая тетрадь Грачев, Погожев

Часть 2. Глава 6. Электрические явления. Параграф 36. Электроскоп - номер 10, страница 15.

Условие.

10. Заряженным изолированным медным шаром 1 коснулись на некоторое время незаряженного изолированного медного шара 2. Диаметр шара 1 больше диаметра шара 2.

Оставшийся на шаре 1 заряд по сравнению с первоначальным

1) не изменился

2) уменьшился в 2 раза

3) уменьшился меньше, чем в 2 раза

4) уменьшился больше, чем в 2 раза

Отметьте знаком «Х» выбранный вами вариант ответа.

1) ☐; 2) ☐; 3) ☐; 4) ☐.

Решение.

Дано:

Шар 1 (медный, изолированный): начальный заряд $q_1$, радиус $R_1$.

Шар 2 (медный, изолированный): начальный заряд $q_2 = 0$, радиус $R_2$.

Диаметр шара 1 больше диаметра шара 2, следовательно, $d_1 > d_2$ и $R_1 > R_2$.

Найти:

Сравнить оставшийся на шаре 1 заряд $q'_1$ с первоначальным $q_1$.

Решение:

При соприкосновении двух проводящих тел их общий заряд перераспределяется до тех пор, пока их электрические потенциалы не станут равными. В изолированной системе суммарный электрический заряд сохраняется.

1. Закон сохранения заряда.
Общий заряд системы до соприкосновения: $Q_{общ} = q_1 + q_2 = q_1 + 0 = q_1$.
После соприкосновения и установления равновесия заряды на шарах станут $q'_1$ и $q'_2$. Суммарный заряд останется прежним:
$q'_1 + q'_2 = q_1$.

2. Условие равенства потенциалов.
Потенциал на поверхности уединенного проводящего шара радиусом $\text{R}$ с зарядом $\text{q}$ определяется формулой $\phi = k \frac{q}{R}$, где $\text{k}$ — электростатическая постоянная. После соприкосновения потенциалы шаров выравниваются:
$\phi'_1 = \phi'_2$
$k \frac{q'_1}{R_1} = k \frac{q'_2}{R_2}$
Отсюда следует, что заряды после перераспределения пропорциональны радиусам шаров:
$\frac{q'_1}{R_1} = \frac{q'_2}{R_2} \implies q'_2 = q'_1 \frac{R_2}{R_1}$.

3. Вычисление конечного заряда $q'_1$.
Подставим выражение для $q'_2$ из пункта 2 в уравнение закона сохранения заряда из пункта 1:
$q'_1 + q'_1 \frac{R_2}{R_1} = q_1$
$q'_1 \left(1 + \frac{R_2}{R_1}\right) = q_1$
$q'_1 \left(\frac{R_1 + R_2}{R_1}\right) = q_1$
Выразим конечный заряд на первом шаре:
$q'_1 = q_1 \frac{R_1}{R_1 + R_2}$.

4. Анализ результата.
Поскольку радиусы $R_1$ и $R_2$ являются положительными величинами, знаменатель $R_1 + R_2$ всегда больше числителя $R_1$. Следовательно, дробь $\frac{R_1}{R_1 + R_2} < 1$, что означает $q'_1 < q_1$. Заряд на первом шаре уменьшился.
Теперь определим, насколько сильно он уменьшился. Сравним $q'_1$ с половиной начального заряда, $\frac{q_1}{2}$. Уменьшение ровно в 2 раза произошло бы, если бы $q'_1 = \frac{q_1}{2}$, что соответствует условию $\frac{R_1}{R_1 + R_2} = \frac{1}{2}$, или $2R_1 = R_1+R_2$, то есть $R_1 = R_2$.
Однако по условию задачи $R_1 > R_2$.
Прибавим к обеим частям этого неравенства $R_1$:
$R_1 + R_1 > R_1 + R_2$
$2R_1 > R_1 + R_2$
Разделим обе части на положительную величину $2(R_1 + R_2)$:
$\frac{2R_1}{2(R_1 + R_2)} > \frac{R_1 + R_2}{2(R_1 + R_2)}$
$\frac{R_1}{R_1 + R_2} > \frac{1}{2}$
Так как $q'_1 = q_1 \frac{R_1}{R_1 + R_2}$, то из полученного неравенства следует:
$q'_1 > q_1 \cdot \frac{1}{2}$
$q'_1 > \frac{q_1}{2}$.
Таким образом, конечный заряд на шаре 1 меньше первоначального, но больше его половины. Это означает, что заряд уменьшился меньше, чем в 2 раза.

Ответ: 3) уменьшился меньше, чем в 2 раза