Номер 5, страница 191 - гдз по физике 8 класс учебник Изергин

Глава IV. Электромагнитные явления. Параграф 33. Сила Лоренца - номер 5, страница 191.

Условие.

5.* Сможете ли вы, зная формулу для расчёта силы Лоренца, вывести формулу для расчёта силы Ампера?

Решение.

Да, зная формулу для расчёта силы Лоренца, можно вывести формулу для расчёта силы Ампера.

Дано:

Формула силы Лоренца, действующей на точечный заряд $q_0$, движущийся со скоростью $\vec{v}$ в магнитном поле с индукцией $\vec{B}$: $\vec{F_Л} = q_0[\vec{v} \times \vec{B}]$

Найти:

Формулу силы Ампера $\vec{F_А}$, действующей на проводник с током.

Решение:

Сила Ампера — это сила, с которой магнитное поле действует на проводник с током. Электрический ток в проводнике представляет собой упорядоченное движение большого числа заряженных частиц (носителей заряда, например, электронов). Таким образом, сила Ампера является результатом сложения сил Лоренца, действующих на каждый отдельный носитель заряда в проводнике.

Рассмотрим небольшой прямолинейный участок проводника длиной $\Delta l$ и площадью поперечного сечения $\text{S}$. Объём этого участка равен $\Delta V = S \cdot \Delta l$.

Пусть $\text{n}$ — концентрация носителей заряда (их число в единице объёма), а $q_0$ — заряд одного носителя. Тогда общее число носителей заряда $\text{N}$ в рассматриваемом участке проводника равно:

$N = n \cdot \Delta V = n S \Delta l$

Сила Лоренца, действующая на один носитель заряда, движущийся со скоростью дрейфа $\vec{v}$, равна:

$\vec{F_Л} = q_0[\vec{v} \times \vec{B}]$

Суммарная сила, действующая на все $\text{N}$ носителей заряда в данном участке проводника, и есть элемент силы Ампера $\Delta \vec{F_А}$. Предполагая, что все носители движутся с одинаковой средней скоростью, получим:

$\Delta \vec{F_А} = N \cdot \vec{F_Л} = (n S \Delta l) q_0 [\vec{v} \times \vec{B}]$

Сила тока $\text{I}$ в проводнике по определению связана со скоростью дрейфа носителей заряда $\text{v}$, их концентрацией $\text{n}$, зарядом $q_0$ и площадью поперечного сечения $\text{S}$ соотношением:

$I = n|q_0|vS$

Преобразуем выражение для силы Ампера. Введем вектор элемента длины проводника $\vec{\Delta l}$, который по модулю равен $\Delta l$ и направлен вдоль проводника по направлению тока.

Покажем, что комбинацию $q_0 \vec{v}$ можно выразить через силу тока $\text{I}$ и вектор $\vec{\Delta l}$. Для этого можно доказать тождество: $(\Delta l \cdot q_0) \vec{v} = (|q_0|v) \vec{\Delta l}$.

• Если носители заряда положительны ($q_0 > 0$), то направление их скорости $\vec{v}$ совпадает с направлением тока, то есть с направлением вектора $\vec{\Delta l}$. В этом случае $|q_0|=q_0$, и тождество $(\Delta l \cdot q_0) \vec{v} = (q_0 v) \vec{\Delta l}$ очевидно верно.
• Если носители заряда отрицательны ($q_0 < 0$, как электроны в металлах), то направление их скорости $\vec{v}$ противоположно направлению тока, то есть $\vec{v}$ и $\vec{\Delta l}$ антипараллельны ($\vec{v} = -v\frac{\vec{\Delta l}}{\Delta l}$). В этом случае $|q_0|=-q_0$. Подставим в левую часть тождества: $(\Delta l \cdot q_0) \vec{v} = (\Delta l \cdot q_0) (-v\frac{\vec{\Delta l}}{\Delta l}) = -q_0 v \vec{\Delta l}$. Правая часть: $(|q_0|v) \vec{\Delta l} = (-q_0 v) \vec{\Delta l}$. Тождество снова выполняется.

Используя доказанное тождество, перепишем исходное выражение для силы:

$\Delta \vec{F_А} = n S [(\Delta l q_0 \vec{v}) \times \vec{B}] = n S [ (|q_0|v \vec{\Delta l}) \times \vec{B} ]$

Вынесем скалярные множители за знак векторного произведения:

$\Delta \vec{F_А} = (n S |q_0| v) [\vec{\Delta l} \times \vec{B}]$

Заметим, что выражение в скобках $n |q_0| v S$ есть не что иное, как сила тока $\text{I}$. Таким образом, получаем формулу для силы Ампера, действующей на элемент проводника $\Delta l$ (закон Ампера в дифференциальной форме):

$\Delta \vec{F_А} = I [\vec{\Delta l} \times \vec{B}]$

Для прямолинейного проводника длиной $\text{L}$, полностью находящегося в однородном магнитном поле $\vec{B}$, полная сила Ампера равна:

$\vec{F_А} = I [\vec{L} \times \vec{B}]$

Модуль этой силы определяется как $F_А = I L B \sin\alpha$, где $\alpha$ — угол между направлением тока в проводнике и вектором магнитной индукции.

Ответ: Да, зная формулу для силы Лоренца, можно вывести формулу для силы Ампера. Сила Ампера является макроскопическим проявлением действия сил Лоренца на упорядоченно движущиеся в проводнике носители заряда. Вывод приводит к формуле $\vec{F_А} = I [\vec{L} \times \vec{B}]$, модуль которой равен $F_А = I L B \sin\alpha$.