Страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Крайнева, Миндюк

15. Постройте график функции $y = \frac{2 + x - x^2}{x + 1}$. При каких значениях $x$ функция принимает неотрицательные значения?

x
y

Ответ:

Постройте график функции $y = \frac{2 + x - x^2}{x + 1}$.

1. Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому:

$x + 1 \neq 0$

$x \neq -1$

Область определения функции: $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

2. Упростим выражение для функции. Для этого разложим числитель $-x^2 + x + 2$ на множители. Сначала найдем корни квадратного уравнения $-x^2 + x + 2 = 0$. Умножим обе части на -1:

$x^2 - x - 2 = 0$

По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Следовательно, квадратный трехчлен можно разложить на множители: $-x^2 + x + 2 = -(x - 2)(x + 1) = (2 - x)(x + 1)$.

3. Подставим разложенный числитель обратно в формулу функции:

$y = \frac{(2 - x)(x + 1)}{x + 1}$

Поскольку $x \neq -1$ (из области определения), мы можем сократить дробь на $(x + 1)$:

$y = 2 - x$

4. Графиком данной функции является прямая $y = 2 - x$ с одной "выколотой" точкой, соответствующей значению $x = -1$.

Найдем координаты этой выколотой точки. Подставим $x = -1$ в уравнение прямой $y = 2 - x$:

$y = 2 - (-1) = 3$

Таким образом, точка с координатами $(-1, 3)$ не принадлежит графику функции и на графике изображается пустым кружком.

5. Для построения прямой $y = 2 - x$ достаточно двух точек. Заполним таблицу значений:

6. Для построения графика на координатной плоскости нужно отметить точки $(0, 2)$ и $(2, 0)$, провести через них прямую линию, а затем отметить на этой прямой выколотую точку (пустой кружок) с координатами $(-1, 3)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = 2 - x$ с выколотой точкой $(-1, 3)$.

При каких значениях x функция принимает неотрицательные значения?

Неотрицательные значения функции означают, что $y \ge 0$. Нам нужно решить неравенство:

$\frac{2 + x - x^2}{x + 1} \ge 0$

Используя упрощенное выражение для функции $y = 2 - x$ и ее область определения $x \neq -1$, мы можем записать эквивалентную систему:

$2 - x \ge 0$, при условии что $x \neq -1$.

Решаем простое линейное неравенство:

$2 \ge x$

$x \le 2$

Теперь объединим это решение с условием $x \neq -1$. Получается, что функция принимает неотрицательные значения при всех $x$, которые меньше или равны 2, за исключением $x = -1$.

Запишем это решение в виде объединения промежутков:

$x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 2]$

Этот же результат можно получить, анализируя построенный график: прямая $y = 2 - x$ лежит на оси $Ox$ или выше нее при $x \le 2$. При этом нужно исключить точку $x = -1$, в которой функция не определена.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 2]$.

16. Постройте график функции $y = \frac{x^3 - 4x}{x - 2}$. При каких значениях $p$ прямая $y = p$ пересекает график функции в одной точке?

........................

........................

........................

........................

Ответ: ........................

Постройте график функции $y = \frac{x^3 - 4x}{x - 2}$

Сначала найдем область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x - 2 \neq 0$, откуда $x \neq 2$.

Далее упростим выражение для функции. Разложим числитель на множители, вынеся общий множитель $x$ и применив формулу разности квадратов:
$x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x - 2)(x + 2)$.

При условии $x \neq 2$ мы можем сократить дробь на множитель $(x - 2)$:
$y = \frac{x(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x(x + 2) = x^2 + 2x$.

Таким образом, график исходной функции представляет собой параболу $y = x^2 + 2x$ с "выколотой" точкой, в которой $x = 2$.

Определим параметры параболы $y = x^2 + 2x$:

• Это парабола, ветви которой направлены вверх (т.к. коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля).
• Найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$:
  $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.
  $y_в = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$.
  Вершина параболы находится в точке $(-1, -1)$.
• Найдем координаты выколотой точки. Для этого подставим $x = 2$ в уравнение параболы:
  $y = 2^2 + 2(2) = 4 + 4 = 8$.
  Следовательно, точка с координатами $(2, 8)$ не принадлежит графику функции.

Для построения графика составим таблицу значений:

Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(-1, -1)$ и выколотой точкой $(2, 8)$.

Ответ: Графиком функции является парабола $y=x^2+2x$ с выколотой точкой $(2, 8)$.

При каких значениях p прямая y = p пересекает график функции в одной точке?

Прямая $y = p$ — это горизонтальная прямая, параллельная оси абсцисс. Нам необходимо найти такие значения $p$, при которых эта прямая имеет с построенным графиком ровно одну общую точку.

Проанализируем количество точек пересечения в зависимости от положения прямой $y = p$:

• Если прямая проходит через вершину параболы, она касается графика в одной точке. Это происходит при $p = y_в = -1$.
• Если прямая проходит через выколотую точку $(2, 8)$, она пересекает параболу в двух точках. Однако одна из этих точек, $(2, 8)$, не принадлежит графику нашей функции. Таким образом, остается только одна фактическая точка пересечения. Это происходит при $p = 8$.

Во всех остальных случаях прямая $y=p$ либо не пересекает график (при $p < -1$), либо пересекает его в двух точках (при $-1 < p < 8$ и при $p > 8$).

Следовательно, прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку при $p = -1$ и при $p = 8$.

Ответ: -1; 8.