Номер 16, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

16. Постройте график функции $y = \frac{x^3 - 4x}{x - 2}$. При каких значениях $p$ прямая $y = p$ пересекает график функции в одной точке?

........................

........................

........................

........................

Ответ: ........................

Постройте график функции $y = \frac{x^3 - 4x}{x - 2}$

Сначала найдем область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x - 2 \neq 0$, откуда $x \neq 2$.

Далее упростим выражение для функции. Разложим числитель на множители, вынеся общий множитель $x$ и применив формулу разности квадратов:
$x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x - 2)(x + 2)$.

При условии $x \neq 2$ мы можем сократить дробь на множитель $(x - 2)$:
$y = \frac{x(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x(x + 2) = x^2 + 2x$.

Таким образом, график исходной функции представляет собой параболу $y = x^2 + 2x$ с "выколотой" точкой, в которой $x = 2$.

Определим параметры параболы $y = x^2 + 2x$:

• Это парабола, ветви которой направлены вверх (т.к. коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля).
• Найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$:
  $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.
  $y_в = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$.
  Вершина параболы находится в точке $(-1, -1)$.
• Найдем координаты выколотой точки. Для этого подставим $x = 2$ в уравнение параболы:
  $y = 2^2 + 2(2) = 4 + 4 = 8$.
  Следовательно, точка с координатами $(2, 8)$ не принадлежит графику функции.

Для построения графика составим таблицу значений:

Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(-1, -1)$ и выколотой точкой $(2, 8)$.

Ответ: Графиком функции является парабола $y=x^2+2x$ с выколотой точкой $(2, 8)$.

При каких значениях p прямая y = p пересекает график функции в одной точке?

Прямая $y = p$ — это горизонтальная прямая, параллельная оси абсцисс. Нам необходимо найти такие значения $p$, при которых эта прямая имеет с построенным графиком ровно одну общую точку.

Проанализируем количество точек пересечения в зависимости от положения прямой $y = p$:

• Если прямая проходит через вершину параболы, она касается графика в одной точке. Это происходит при $p = y_в = -1$.
• Если прямая проходит через выколотую точку $(2, 8)$, она пересекает параболу в двух точках. Однако одна из этих точек, $(2, 8)$, не принадлежит графику нашей функции. Таким образом, остается только одна фактическая точка пересечения. Это происходит при $p = 8$.

Во всех остальных случаях прямая $y=p$ либо не пересекает график (при $p < -1$), либо пересекает его в двух точках (при $-1 < p < 8$ и при $p > 8$).

Следовательно, прямая $y=p$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку при $p = -1$ и при $p = 8$.

Ответ: -1; 8.