Номер 12, страница 121, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

12. Постройте график функции и найдите множество её значений:

a) $y = \begin{cases} x^2 - 1, & -3 \le x \le 2 \\ 1 + x, & 2 < x \le 4 \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} \frac{6}{x}, & -6 \le x \le -1 \\ 5 - x, & -1 < x \le 6 \end{cases}$

x

y

x

y

a)

y

1

0

1

x

б)

y

1

0

1

x

Ответ: а)

б)

а)

Дана кусочно-заданная функция: $y = \begin{cases} x^2 - 1, & -3 \le x \le 2 \\ 1 + x, & 2 < x \le 4 \end{cases}$

1. Построим график функции $y = x^2 - 1$ на промежутке $[-3; 2]$. Это часть параболы, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0; -1)$.

Вычислим значения функции на концах промежутка и в нескольких промежуточных точках:

• $y(-3) = (-3)^2 - 1 = 9 - 1 = 8$. Точка $(-3; 8)$ принадлежит графику.
• $y(-1) = (-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0$. Точка $(-1; 0)$.
• $y(0) = 0^2 - 1 = -1$. Точка $(0; -1)$ - вершина.
• $y(2) = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3$. Точка $(2; 3)$ принадлежит графику.

2. Построим график функции $y = 1 + x$ на промежутке $(2; 4]$. Это часть прямой.

Вычислим значения функции на концах промежутка:

• При $x=2$, $y = 1+2 = 3$. Точка $(2; 3)$ не принадлежит этому участку графика, так как неравенство строгое ($x>2$). На графике эта точка будет "выколотой".
• При $x=4$, $y = 1+4 = 5$. Точка $(4; 5)$ принадлежит графику.

3. Совместим графики. Точка $(2; 3)$ является конечной для первого участка (параболы) и начальной (выколотой) для второго участка (прямой). Так как в первом случае точка включена, разрыва в точке $x=2$ не будет.

Заполним таблицу значений:

4. Найдем множество значений функции. Это все значения, которые принимает $y$.

На промежутке $[-3; 2]$ функция $y = x^2 - 1$ принимает значения от минимального в вершине $y(0)=-1$ до максимального на конце промежутка $y(-3)=8$. Множество значений на этом участке: $[-1; 8]$.

На промежутке $(2; 4]$ функция $y = 1 + x$ возрастает и принимает значения от $y(2)=3$ (не включая) до $y(4)=5$ (включая). Множество значений на этом участке: $(3; 5]$.

Общее множество значений функции является объединением этих двух множеств: $[-1; 8] \cup (3; 5]$. Так как интервал $(3; 5]$ полностью содержится в отрезке $[-1; 8]$, то итоговое множество значений - это $[-1; 8]$.

Ответ: множество значений функции $E(y) = [-1; 8]$.

б)

Дана кусочно-заданная функция: $y = \begin{cases} \frac{6}{x}, & -6 \le x \le -1 \\ 5 - x, & -1 < x \le 6 \end{cases}$

1. Построим график функции $y = \frac{6}{x}$ на промежутке $[-6; -1]$. Это часть гиперболы, расположенная в третьей координатной четверти.

Вычислим значения функции на концах промежутка и в нескольких промежуточных точках:

• $y(-6) = \frac{6}{-6} = -1$. Точка $(-6; -1)$ принадлежит графику.
• $y(-3) = \frac{6}{-3} = -2$. Точка $(-3; -2)$.
• $y(-2) = \frac{6}{-2} = -3$. Точка $(-2; -3)$.
• $y(-1) = \frac{6}{-1} = -6$. Точка $(-1; -6)$ принадлежит графику.

2. Построим график функции $y = 5 - x$ на промежутке $(-1; 6]$. Это часть прямой.

Вычислим значения функции на концах промежутка:

• При $x=-1$, $y = 5 - (-1) = 6$. Точка $(-1; 6)$ не принадлежит этому участку графика, так как неравенство строгое ($x>-1$). На графике эта точка будет "выколотой".
• При $x=6$, $y = 5 - 6 = -1$. Точка $(6; -1)$ принадлежит графику.

3. Совместим графики. В точке $x=-1$ происходит разрыв. График гиперболы заканчивается в точке $(-1; -6)$, а график прямой "начинается" с выколотой точки $(-1; 6)$.

Заполним таблицу значений:

4. Найдем множество значений функции.

На промежутке $[-6; -1]$ функция $y = \frac{6}{x}$ убывает. Ее значения лежат в диапазоне от $y(-1)=-6$ до $y(-6)=-1$. Множество значений на этом участке: $[-6; -1]$.

На промежутке $(-1; 6]$ функция $y = 5 - x$ убывает. Ее значения лежат в диапазоне от $y(6)=-1$ до $y(-1)=6$ (не включая). Множество значений на этом участке: $[-1; 6)$.

Общее множество значений функции является объединением этих двух множеств: $[-6; -1] \cup [-1; 6)$. Объединяя эти два промежутка, получаем итоговое множество значений $[-6; 6)$.

Ответ: множество значений функции $E(y) = [-6; 6)$.