Номер 13, страница 122, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

13. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству, и назовите какие-нибудь две пары значений x и y, удовлетворяющих неравенству:

a) $2y + 2 > x$;

...........................

x

y

y

1

0

1

x

б) $xy \ge 4$;

...........................

x

y

y

1

0

1

x

В) $x^2 + y^2 < 9$;

...........................

...........................

г) $x^2 + 2 \ge 4x - y$.

...........................

...........................

x

y

y

1

0

1

x

Ответ: a)

...........................

В)

...........................

б)

...........................

г)

...........................

а)Чтобы изобразить множество точек, удовлетворяющих неравенству $2y + 2 > x$, сначала построим граничную линию, которая задается уравнением $2y + 2 = x$. Это линейное уравнение. Выразим $y$ через $x$, чтобы привести его к стандартному виду $y = kx + b$:$2y = x - 2$$y = \frac{1}{2}x - 1$Это прямая линия. Для ее построения найдем две точки:

• Если $x = 0$, то $y = \frac{1}{2}(0) - 1 = -1$. Точка $(0, -1)$.
• Если $x = 2$, то $y = \frac{1}{2}(2) - 1 = 0$. Точка $(2, 0)$.

Поскольку неравенство строгое ($>$), граничная линия рисуется пунктиром. Это означает, что точки на самой линии не входят в решение.Далее, чтобы определить, какую из двух полуплоскостей нужно заштриховать, возьмем пробную точку, не лежащую на прямой. Удобно взять начало координат $(0, 0)$. Подставим эти значения в исходное неравенство:$2(0) + 2 > 0$$2 > 0$Это верное утверждение. Следовательно, мы заштриховываем ту полуплоскость, в которой находится точка $(0, 0)$. Это область выше прямой $y = \frac{1}{2}x - 1$.

Примеры пар значений $(x, y)$, удовлетворяющих неравенству:1. Точка $(0, 0)$: $2(0) + 2 > 0 \implies 2 > 0$ (верно).2. Точка $(1, 2)$: $2(2) + 2 > 1 \implies 6 > 1$ (верно).
Ответ: (0, 0) и (1, 2).

б)Рассмотрим неравенство $xy \ge 4$. Границей множества является кривая, заданная уравнением $xy = 4$, или $y = \frac{4}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), граница (гипербола) рисуется сплошной линией, и точки на ней являются частью решения.

Плоскость делится гиперболой на три области. Проверим, какие из них удовлетворяют неравенству, с помощью пробных точек:

• Возьмем точку $(3, 3)$ (в I четверти "над" ветвью гиперболы): $3 \cdot 3 = 9 \ge 4$ (верно). Значит, эта область является решением.
• Возьмем точку $(-3, -3)$ (в III четверти "под" ветвью гиперболы): $(-3) \cdot (-3) = 9 \ge 4$ (верно). Эта область также является решением.
• Возьмем точку $(1, 1)$ (между ветвями): $1 \cdot 1 = 1 \ge 4$ (неверно).

Таким образом, решением является область "выше" ветви гиперболы в первой четверти и "ниже" ветви в третьей четверти, включая саму гиперболу.

Примеры пар значений $(x, y)$, удовлетворяющих неравенству:1. Точка $(2, 2)$: $2 \cdot 2 = 4 \ge 4$ (верно). Эта точка лежит на границе.2. Точка $(4, 5)$: $4 \cdot 5 = 20 \ge 4$ (верно). Эта точка лежит в заштрихованной области.
Ответ: (2, 2) и (4, 5).

в)Неравенство $x^2 + y^2 < 9$ задает множество точек на плоскости. Границей этого множества является окружность, заданная уравнением $x^2 + y^2 = 9$.Это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{9} = 3$.

Поскольку неравенство строгое (<), окружность рисуется пунктирной линией. Точки на самой окружности не являются решением.Чтобы определить, какую область заштриховать (внутри или снаружи окружности), возьмем пробную точку. Проще всего взять центр окружности, точку $(0, 0)$:$0^2 + 0^2 < 9$$0 < 9$Это утверждение верно, следовательно, решением является множество всех точек, лежащих внутри окружности.

Примеры пар значений $(x, y)$, удовлетворяющих неравенству:1. Точка $(0, 0)$: $0^2 + 0^2 = 0 < 9$ (верно).2. Точка $(1, -1)$: $1^2 + (-1)^2 = 1 + 1 = 2 < 9$ (верно).
Ответ: (0, 0) и (1, -1).

г)Рассмотрим неравенство $x^2 + 2 \ge 4x - y$. Сначала преобразуем его, выразив $y$:$y \ge -x^2 + 4x - 2$

Границей области является парабола, заданная уравнением $y = -x^2 + 4x - 2$.Найдем вершину этой параболы. Координата $x_0$ вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:$x_0 = -\frac{4}{2(-1)} = 2$Подставим $x_0 = 2$ в уравнение параболы, чтобы найти $y_0$:$y_0 = -(2)^2 + 4(2) - 2 = -4 + 8 - 2 = 2$Вершина параболы находится в точке $(2, 2)$. Коэффициент при $x^2$ отрицательный ($-1$), поэтому ветви параболы направлены вниз.

Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), парабола рисуется сплошной линией.Неравенство $y \ge -x^2 + 4x - 2$ означает, что решением являются все точки, лежащие на параболе и "выше" нее. Проверим это с помощью пробной точки $(0,0)$:$0 \ge -0^2 + 4(0) - 2$$0 \ge -2$Утверждение верно, поэтому область, содержащая точку $(0,0)$, является решением. Это область над параболой.

Примеры пар значений $(x, y)$, удовлетворяющих неравенству:1. Точка $(2, 2)$ (вершина параболы): $2^2 + 2 = 6$; $4(2) - 2 = 6$. $6 \ge 6$ (верно).2. Точка $(0, 0)$: $0^2 + 2 = 2$; $4(0) - 0 = 0$. $2 \ge 0$ (верно).
Ответ: (2, 2) и (0, 0).