Номер 11, страница 120, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

11. Постройте график функции:

a) $y = \frac{x^2 - 3x}{x}$

б) $y = |2x - 3|$

в) $y = |x^2 - 3x + 2|$

a) б) в)

а)

Рассмотрим функцию $y = \frac{x^2 - 3x}{x}$.

1. Область определения функции (ОДЗ):
Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$.

2. Упрощение функции:
При $x \neq 0$ мы можем сократить дробь, вынеся $x$ за скобки в числителе:
$y = \frac{x(x - 3)}{x} = x - 3$.

3. Анализ графика:
Функция $y = x - 3$ является линейной, ее график — прямая линия. Однако, из-за ограничения ОДЗ ($x \neq 0$), на этой прямой будет одна «выколотая» точка. Найдем координаты этой точки: если $x=0$, то $y = 0 - 3 = -3$. Таким образом, точка с координатами $(0, -3)$ не принадлежит графику функции.

4. Построение графика:
Для построения прямой $y = x - 3$ достаточно двух точек. Составим таблицу значений:

Строим прямую, проходящую через эти точки, и отмечаем на ней выколотую точку $(0, -3)$.

Ответ: Графиком функции $y = \frac{x^2 - 3x}{x}$ является прямая $y = x - 3$ с выколотой точкой $(0, -3)$.

б)

Рассмотрим функцию $y = |2x - 3|$.

1. Анализ функции:
Это функция модуля. Ее график строится на основе раскрытия модуля. По определению модуля:
$|a| = a$, если $a \ge 0$
$|a| = -a$, если $a < 0$

2. Раскрытие модуля:
Раскроем модуль для двух случаев:
- Если $2x - 3 \ge 0$, то есть $2x \ge 3$ или $x \ge 1.5$, функция принимает вид $y = 2x - 3$.
- Если $2x - 3 < 0$, то есть $2x < 3$ или $x < 1.5$, функция принимает вид $y = -(2x - 3) = -2x + 3$.

3. Построение графика:
График состоит из двух лучей, исходящих из одной точки — вершины. Вершина находится в точке, где выражение под модулем равно нулю:
$2x - 3 = 0 \Rightarrow x = 1.5$. При $x = 1.5$, $y = |2(1.5) - 3| = 0$.
Вершина графика находится в точке $(1.5, 0)$.
Составим таблицу значений, включив в нее вершину и по одной точке для каждого луча:

Для $x \ge 1.5$ строим луч прямой $y = 2x - 3$.
Для $x < 1.5$ строим луч прямой $y = -2x + 3$.

Ответ: График функции $y = |2x - 3|$ представляет собой два луча, выходящих из точки $(1.5, 0)$. Для $x \ge 1.5$ это часть прямой $y=2x-3$, а для $x < 1.5$ — часть прямой $y=-2x+3$.

в)

Рассмотрим функцию $y = |x^2 - 3x + 2|$.

1. Анализ функции:
Чтобы построить график данной функции, сначала построим параболу $y_1 = x^2 - 3x + 2$, а затем часть графика, которая находится ниже оси Ox ($y_1 < 0$), симметрично отразим относительно оси Ox.

2. Построение параболы $y_1 = x^2 - 3x + 2$:
- Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1$).
- Найдем координаты вершины параболы: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = 1.5$.
$y_0 = (1.5)^2 - 3(1.5) + 2 = 2.25 - 4.5 + 2 = -0.25$.
Вершина находится в точке $(1.5, -0.25)$.
- Найдем точки пересечения с осью Ox (нули функции): $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.
Точки пересечения: $(1, 0)$ и $(2, 0)$.
- Найдем точку пересечения с осью Oy: при $x=0$, $y_1 = 2$. Точка $(0, 2)$.

3. Применение модуля:
- Часть параболы, где $y_1 \ge 0$ (то есть при $x \in (-\infty, 1] \cup [2, +\infty)$), остается без изменений.
- Часть параболы, где $y_1 < 0$ (то есть при $x \in (1, 2)$), симметрично отражается относительно оси Ox. Вершина параболы $(1.5, -0.25)$ переходит в точку $(1.5, 0.25)$.

4. Таблица значений для итогового графика $y = |x^2 - 3x + 2|$:

Ответ: График функции $y = |x^2 - 3x + 2|$ получается из параболы $y = x^2 - 3x + 2$ путем симметричного отражения ее части, расположенной под осью Ox, относительно этой оси. График касается оси Ox в точках $(1,0)$ и $(2,0)$ и имеет локальный максимум в точке $(1.5, 0.25)$.