Номер 8, страница 118, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

8. Постройте график функции. В каждом случае укажите значения x, при которых значения функции $y > 0$; $y < 0$.

a) $y = \frac{2}{x}$;

б) $y = -\frac{5}{x}$.

a) б) Ответ:

a) $y > 0$ при ..................., $y < 0$ при ...................;

б) $y > 0$ при ..................., $y < 0$ при ....................

а)

Функция $y = \frac{2}{x}$ — это обратная пропорциональность. Графиком является гипербола. Так как коэффициент $k=2$ положителен ($k>0$), ветви гиперболы расположены в первой и третьей координатных четвертях. Область определения функции: $x \neq 0$.

Для построения графика вычислим координаты нескольких точек, заполнив таблицу:

Если $x = -4$, то $y = \frac{2}{-4} = -0.5$
Если $x = -2$, то $y = \frac{2}{-2} = -1$
Если $x = -1$, то $y = \frac{2}{-1} = -2$
Если $x = 1$, то $y = \frac{2}{1} = 2$
Если $x = 2$, то $y = \frac{2}{2} = 1$
Если $x = 4$, то $y = \frac{2}{4} = 0.5$

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их двумя плавными линиями (ветвями гиперболы), получим график функции. Оси координат служат асимптотами для графика.

Теперь определим, при каких значениях $x$ функция положительна или отрицательна.

• $y > 0$: значения функции положительны там, где график расположен выше оси абсцисс ($Ox$). Это соответствует первой координатной четверти. Для этой ветви все значения $x$ положительны.
• $y < 0$: значения функции отрицательны там, где график расположен ниже оси абсцисс. Это соответствует третьей координатной четверти. Для этой ветви все значения $x$ отрицательны.

Ответ: $y > 0$ при $x > 0$; $y < 0$ при $x < 0$.

б)

Функция $y = -\frac{5}{x}$ — это также обратная пропорциональность. Графиком является гипербола. Так как коэффициент $k=-5$ отрицателен ($k<0$), ветви гиперболы расположены во второй и четвертой координатных четвертях. Область определения функции: $x \neq 0$.

Для построения графика вычислим координаты нескольких точек:

Если $x = -5$, то $y = -\frac{5}{-5} = 1$
Если $x = -2.5$, то $y = -\frac{5}{-2.5} = 2$
Если $x = -1$, то $y = -\frac{5}{-1} = 5$
Если $x = 1$, то $y = -\frac{5}{1} = -5$
Если $x = 2.5$, то $y = -\frac{5}{2.5} = -2$
Если $x = 5$, то $y = -\frac{5}{5} = -1$

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавными линиями, получим график функции (гиперболу), ветви которой расположены во II и IV четвертях.

Определим знаки функции по графику.

• $y > 0$: график функции находится выше оси $Ox$ во второй координатной четверти. Для этой ветви все значения $x$ отрицательны.
• $y < 0$: график функции находится ниже оси $Ox$ в четвертой координатной четверти. Для этой ветви все значения $x$ положительны.

Ответ: $y > 0$ при $x < 0$; $y < 0$ при $x > 0$.