Номер 1, страница 112, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

1. Ломаная ABCDE является графиком функции $y = f(x)$:

Найдите значения аргумента, при которых:

a) $f(x) = 0$

б) $f(x) > 0$

в) $f(x) < 0$

Напишите уравнение прямой, которой принадлежит отрезок BC.

Для решения задачи сначала определим координаты вершин ломаной по графику:

A(-5; 2), B(-3; -4), C(-1; 2,5), D(4; -2), E(6; 2).

Область определения функции — это отрезок [-5; 6].

а) f(x) = 0

Значение функции равно нулю в точках пересечения графика с осью абсцисс (Ox). Найдем эти точки, определив уравнения прямых для каждого отрезка, пересекающего ось Ox.

1. Отрезок AB. Прямая проходит через точки A(-5; 2) и B(-3; -4).
Уравнение прямой: $\frac{x - x_A}{x_B - x_A} = \frac{y - y_A}{y_B - y_A}$.
$\frac{x - (-5)}{-3 - (-5)} = \frac{y - 2}{-4 - 2} \implies \frac{x + 5}{2} = \frac{y - 2}{-6}$.
При $y = 0$: $\frac{x + 5}{2} = \frac{-2}{-6} \implies \frac{x + 5}{2} = \frac{1}{3} \implies 3(x+5) = 2 \implies 3x + 15 = 2 \implies 3x = -13 \implies x = -\frac{13}{3}$.

2. Отрезок BC. Прямая проходит через точки B(-3; -4) и C(-1; 2,5).
$\frac{x - (-3)}{-1 - (-3)} = \frac{y - (-4)}{2,5 - (-4)} \implies \frac{x + 3}{2} = \frac{y + 4}{6,5}$.
При $y = 0$: $\frac{x + 3}{2} = \frac{4}{6,5} \implies 6,5(x+3) = 8 \implies 6,5x + 19,5 = 8 \implies 6,5x = -11,5 \implies x = -\frac{11,5}{6,5} = -\frac{23}{13}$.

3. Отрезок CD. Прямая проходит через точки C(-1; 2,5) и D(4; -2).
$\frac{x - (-1)}{4 - (-1)} = \frac{y - 2,5}{-2 - 2,5} \implies \frac{x + 1}{5} = \frac{y - 2,5}{-4,5}$.
При $y = 0$: $\frac{x + 1}{5} = \frac{-2,5}{-4,5} \implies \frac{x + 1}{5} = \frac{25}{45} = \frac{5}{9} \implies 9(x+1) = 25 \implies 9x + 9 = 25 \implies 9x = 16 \implies x = \frac{16}{9}$.

4. Отрезок DE. Прямая проходит через точки D(4; -2) и E(6; 2).
$\frac{x - 4}{6 - 4} = \frac{y - (-2)}{2 - (-2)} \implies \frac{x - 4}{2} = \frac{y + 2}{4}$.
При $y = 0$: $\frac{x - 4}{2} = \frac{2}{4} \implies \frac{x - 4}{2} = \frac{1}{2} \implies x - 4 = 1 \implies x = 5$.

Ответ: $x = -\frac{13}{3}, x = -\frac{23}{13}, x = \frac{16}{9}, x = 5$.

б) f(x) > 0

Функция положительна, когда ее график находится выше оси Ox. Используя найденные в пункте (а) нули функции и учитывая область определения [-5; 6], находим интервалы.

1. На участке от A(-5; 2) до первой точки пересечения $x = -\frac{13}{3}$. Так как $f(-5)=2>0$, функция положительна на интервале $[-5; -\frac{13}{3})$.

2. Между второй ($x = -\frac{23}{13}$) и третьей ($x = \frac{16}{9}$) точками пересечения. На этом участке график находится выше оси Ox. Интервал: $(-\frac{23}{13}; \frac{16}{9})$.

3. От последней точки пересечения $x = 5$ до конца области определения E(6; 2). Так как $f(6)=2>0$, функция положительна на интервале $(5; 6]$.

Объединяем полученные интервалы.

Ответ: $x \in [-5; -\frac{13}{3}) \cup (-\frac{23}{13}; \frac{16}{9}) \cup (5; 6]$.

в) f(x) < 0

Функция отрицательна, когда ее график находится ниже оси Ox. Это происходит между точками пересечения с осью.

1. Между первой ($x = -\frac{13}{3}$) и второй ($x = -\frac{23}{13}$) точками пересечения. Интервал: $(-\frac{13}{3}; -\frac{23}{13})$.

2. Между третьей ($x = \frac{16}{9}$) и четвертой ($x = 5$) точками пересечения. Интервал: $(\frac{16}{9}; 5)$.

Объединяем полученные интервалы.

Ответ: $x \in (-\frac{13}{3}; -\frac{23}{13}) \cup (\frac{16}{9}; 5)$.

Напишите уравнение прямой, которой принадлежит отрезок BC.

Уравнение прямой будем искать в виде $y = kx + b$. Прямая проходит через точки B(-3; -4) и C(-1; 2,5).

1. Найдем угловой коэффициент $k$:
$k = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{2,5 - (-4)}{-1 - (-3)} = \frac{6,5}{2} = 3,25$ или $k = \frac{13}{4}$.

2. Подставим координаты одной из точек (например, B) в уравнение $y = 3,25x + b$, чтобы найти $b$:
$-4 = 3,25 \cdot (-3) + b$
$-4 = -9,75 + b$
$b = 9,75 - 4 = 5,75$ или $b = \frac{23}{4}$.

Таким образом, уравнение прямой имеет вид $y = 3,25x + 5,75$.

Ответ: $y = 3,25x + 5,75$ (или $y = \frac{13}{4}x + \frac{23}{4}$).