Номер 15, страница 110, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

15. При каких значениях k уравнение имеет хотя бы один корень:

a) $3x^2 + 2kx + k + 6 = 0$;

...................

...................

...................

...................

...................

б) $x^2 + 6kx + 9 = 0?$;

...................

...................

...................

...................

...................

Ответ: a) ...................

б) ...................

a) $3x^2 + 2kx + k + 6 = 0$

Данное уравнение является квадратным. Квадратное уравнение имеет хотя бы один действительный корень, если его дискриминант $D$ неотрицателен, то есть $D \ge 0$.

Коэффициенты уравнения: $a = 3$, $b = 2k$, $c = k + 6$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (2k)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (k + 6) = 4k^2 - 12(k + 6) = 4k^2 - 12k - 72$.

Теперь решим неравенство $D \ge 0$:

$4k^2 - 12k - 72 \ge 0$

Разделим обе части неравенства на 4, чтобы упростить его:

$k^2 - 3k - 18 \ge 0$

Для решения этого неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения $k^2 - 3k - 18 = 0$.

Вычислим дискриминант этого уравнения относительно $k$:

$D_k = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81 = 9^2$.

Корни уравнения:

$k_1 = \frac{-(-3) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 9}{2} = -3$

$k_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 9}{2} = 6$

Графиком функции $y = k^2 - 3k - 18$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, выражение $k^2 - 3k - 18$ принимает неотрицательные значения при $k \le -3$ и при $k \ge 6$.

Таким образом, решение неравенства: $k \in (-\infty; -3] \cup [6; +\infty)$.

Ответ: $k \in (-\infty; -3] \cup [6; +\infty)$.

б) $x^2 + 6kx + 9 = 0$

Это также квадратное уравнение. Условием наличия хотя бы одного действительного корня является неотрицательность дискриминанта: $D \ge 0$.

Коэффициенты уравнения: $a = 1$, $b = 6k$, $c = 9$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (6k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36k^2 - 36$.

Решим неравенство $D \ge 0$:

$36k^2 - 36 \ge 0$

Разделим обе части неравенства на 36:

$k^2 - 1 \ge 0$

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:

$(k - 1)(k + 1) \ge 0$

Корнями уравнения $(k - 1)(k + 1) = 0$ являются $k_1 = -1$ и $k_2 = 1$.

Графиком функции $y = k^2 - 1$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при значениях $k$ за пределами интервала между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства: $k \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.

Ответ: $k \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.