Номер 9, страница 104, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

9. Решите неравенство:

а) $x^2 - 10x + 9 > 0;$

б) $x^2 - 9 \le 0;$

в) $x^2 - 4x + 4 \le 0;$

г) $4x^2 + 17x - 15 < 0.$

Ответ:

а) ....................

б) ....................

в) ....................

г) ....................

а) Для решения неравенства $x^2 - 10x + 9 > 0$ сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 10x + 9 = 0$. Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 9$. Графиком функции $y = x^2 - 10x + 9$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$). Неравенство выполняется, когда график функции находится выше оси абсцисс, то есть за пределами интервала между корнями.
Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (9; +\infty)$.

б) Чтобы решить неравенство $x^2 - 9 \le 0$, разложим левую часть на множители как разность квадратов: $(x-3)(x+3) \le 0$. Корнями уравнения $(x-3)(x+3) = 0$ являются точки $x = -3$ и $x = 3$. График функции $y = x^2 - 9$ — это парабола с ветвями вверх. Неравенство $\le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни, так как в этих точках парабола находится ниже или на оси абсцисс.
Ответ: $x \in [-3; 3]$.

в) Левая часть неравенства $x^2 - 4x + 4 \le 0$ является полным квадратом: $(x-2)^2$. Таким образом, неравенство можно записать в виде $(x-2)^2 \le 0$. Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, то есть $(x-2)^2 \ge 0$ для всех $x$. Следовательно, неравенство $(x-2)^2 \le 0$ выполняется только тогда, когда $(x-2)^2 = 0$, что происходит при $x=2$.
Ответ: $x = 2$.

г) Для решения неравенства $4x^2 + 17x - 15 < 0$ найдем корни квадратного уравнения $4x^2 + 17x - 15 = 0$ с помощью формулы для корней квадратного уравнения.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 17^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-15) = 289 + 240 = 529 = 23^2$.
Найдем корни: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-17 \pm 23}{2 \cdot 4} = \frac{-17 \pm 23}{8}$.
$x_1 = \frac{-17 - 23}{8} = \frac{-40}{8} = -5$.
$x_2 = \frac{-17 + 23}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.
График функции $y = 4x^2 + 17x - 15$ — это парабола с ветвями вверх ($a=4>0$). Неравенство $< 0$ выполняется на интервале между корнями, где парабола находится ниже оси абсцисс.
Ответ: $x \in (-5; \frac{3}{4})$.