Номер 2, страница 100, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

2. Решите неравенство:

а) $3x - 7 \le 1 - x$;

.....................

б) $\frac{x+1}{2} - \frac{x}{6} - \frac{x+2}{3} < 2$;

.....................

в) $4 + (2x + 3)(2x - 1) > (2x + 7)^2$;

.....................

г) $\frac{4x+11}{5} + \frac{10-x}{2} \le 3(x-3).$

.....................

Ответ: а) .......................... б) ..........................

в) .......................... г) ..........................

Решим линейное неравенство $3x-7 \le 1-x$.

Сначала перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть неравенства, а все числовые слагаемые — в правую. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный.

$3x + x \le 1 + 7$

Теперь приведем подобные слагаемые в обеих частях неравенства:

$4x \le 8$

Разделим обе части неравенства на положительное число 4. Знак неравенства при этом не изменяется.

$x \le \frac{8}{4}$

$x \le 2$

Решением неравенства является числовой промежуток $(-\infty; 2]$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2]$

Решим неравенство с дробями $\frac{x+1}{2} - \frac{x}{6} - \frac{x+2}{3} < 2$.

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части неравенства на их наименьший общий знаменатель. Для чисел 2, 6 и 3 наименьший общий знаменатель равен 6. Так как мы умножаем на положительное число, знак неравенства не меняется.

$6 \cdot \left( \frac{x+1}{2} - \frac{x}{6} - \frac{x+2}{3} \right) < 6 \cdot 2$

$3(x+1) - x - 2(x+2) < 12$

Раскроем скобки в левой части:

$3x + 3 - x - 2x - 4 < 12$

Приведем подобные слагаемые:

$(3x - x - 2x) + (3 - 4) < 12$

$0 \cdot x - 1 < 12$

$-1 < 12$

Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от значения переменной $x$. Это означает, что исходное неравенство выполняется при любом значении $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$

Решим неравенство $4 + (2x+3)(2x-1) > (2x+7)^2$.

Раскроем скобки в обеих частях. В левой части перемножим многочлены, в правой — применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$4 + (2x \cdot 2x - 2x \cdot 1 + 3 \cdot 2x - 3 \cdot 1) > (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 7 + 7^2$

$4 + (4x^2 + 4x - 3) > 4x^2 + 28x + 49$

Упростим левую часть:

$4x^2 + 4x + 1 > 4x^2 + 28x + 49$

Перенесем все члены из правой части в левую с противоположными знаками:

$4x^2 + 4x + 1 - 4x^2 - 28x - 49 > 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(4x^2 - 4x^2) + (4x - 28x) + (1 - 49) > 0$

$-24x - 48 > 0$

Перенесем свободный член в правую часть:

$-24x > 48$

Разделим обе части на -24. При делении на отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный.

$x < \frac{48}{-24}$

$x < -2$

Решением неравенства является интервал $(-\infty; -2)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2)$

Решим неравенство $\frac{4x+11}{5} + \frac{10-x}{2} \le 3(x-3)$.

Сначала раскроем скобки в правой части:

$\frac{4x+11}{5} + \frac{10-x}{2} \le 3x - 9$

Теперь избавимся от дробей, умножив обе части неравенства на наименьший общий знаменатель чисел 5 и 2, который равен 10. Знак неравенства не изменится.

$10 \cdot \frac{4x+11}{5} + 10 \cdot \frac{10-x}{2} \le 10 \cdot (3x-9)$

$2(4x+11) + 5(10-x) \le 30x - 90$

Раскроем скобки в левой части:

$8x + 22 + 50 - 5x \le 30x - 90$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$3x + 72 \le 30x - 90$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в правой части, а свободные члены — в левой:

$72 + 90 \le 30x - 3x$

$162 \le 27x$

Разделим обе части на 27:

$\frac{162}{27} \le x$

$6 \le x$

Запишем решение в стандартном виде. Решением является числовой промежуток $[6; +\infty)$.

Ответ: $x \in [6; +\infty)$