Номер 1, страница 100, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

1. Пользуясь тем, что $1,4 < \sqrt{2} < 1,5$ и $1,7 < \sqrt{3} < 1,8$, оцените значение выражения:

a) $\sqrt{2} + \sqrt{3}$

б) $\sqrt{3} - \sqrt{2}$

в) $\sqrt{6}$

а) $\sqrt{2} + \sqrt{3}$

Чтобы оценить значение суммы $\sqrt{2} + \sqrt{3}$, воспользуемся заданными неравенствами:
$1,4 < \sqrt{2} < 1,5$
$1,7 < \sqrt{3} < 1,8$
Согласно свойству числовых неравенств, мы можем их сложить почленно. Складываем левые части с левыми, центральные с центральными и правые с правыми:
$1,4 + 1,7 < \sqrt{2} + \sqrt{3} < 1,5 + 1,8$
Выполнив сложение, получаем:
$3,1 < \sqrt{2} + \sqrt{3} < 3,3$

Ответ: $3,1 < \sqrt{2} + \sqrt{3} < 3,3$

б) $\sqrt{3} - \sqrt{2}$

Для оценки разности $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ нам понадобятся те же исходные неравенства:
$1,7 < \sqrt{3} < 1,8$
$1,4 < \sqrt{2} < 1,5$
Чтобы найти границы для разности $\sqrt{3} - \sqrt{2}$, нужно из границ для $\sqrt{3}$ вычесть границы для $\sqrt{2}$. Для этого можно умножить неравенство для $\sqrt{2}$ на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$-1,5 < -\sqrt{2} < -1,4$
Теперь сложим полученное неравенство с неравенством для $\sqrt{3}$:
$1,7 + (-1,5) < \sqrt{3} + (-\sqrt{2}) < 1,8 + (-1,4)$
$1,7 - 1,5 < \sqrt{3} - \sqrt{2} < 1,8 - 1,4$
Вычисляем разности:
$0,2 < \sqrt{3} - \sqrt{2} < 0,4$

Ответ: $0,2 < \sqrt{3} - \sqrt{2} < 0,4$

в) $\sqrt{6}$

Значение $\sqrt{6}$ можно представить как произведение $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}$. Поскольку все части данных неравенств являются положительными числами, мы можем их перемножить почленно.
Исходные неравенства:
$1,4 < \sqrt{2} < 1,5$
$1,7 < \sqrt{3} < 1,8$
Перемножаем соответствующие части неравенств:
$1,4 \cdot 1,7 < \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} < 1,5 \cdot 1,8$
Выполняем умножение:
$2,38 < \sqrt{6} < 2,7$

Ответ: $2,38 < \sqrt{6} < 2,7$