Номер 40, страница 98, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

40. Числа $x + y$, $3x + y$, $2x + 2y$ составляют арифметическую прогрессию, а числа $(y - x)^2$, $xy + 5$, $(y + 1)^2$ составляют геометрическую прогрессию, причём все эти числа положительны. Найдите $x$ и $y$.

Решение.

Так как числа $x + y$, $3x + y$, $2x + 2y$ составляют арифметическую прогрессию, то второе из них равно среднему арифметическому первого и третьего чисел, следовательно,

$3x + y = \frac{(x + y) + (2x + 2y)}{2}$ (1)

Так как числа $(y - x)^2$, $xy + 5$, $(y + 1)^2$ составляют геометрическую прогрессию, то второе из них равно среднему геометрическому первого и третьего чисел, следовательно,

$(xy + 5)^2 = (y - x)^2 (y + 1)^2$ (2)

Так как числа $(y - x)^2$, $xy + 5$, $(y + 1)^2$ положительны, т. е.

$(y - x)^2 > 0$, $xy + 5 > 0$, $(y + 1)^2 > 0$, то $x \ne y$, $xy > -5$, $y \ne -1$ (3)

Из уравнений (1) и (2) составим систему и решим её:

Проверим условия (3):

Следовательно,

Ответ:

Решение. Так как числа $x+y$, $3x+y$, $2x+2y$ составляют арифметическую прогрессию, то второе из них равно среднему арифметическому первого и третьего чисел, следовательно,

$3x+y = \frac{(x+y) + (2x+2y)}{2}$ (1)

Так как числа $(y-x)^2$, $xy+5$, $(y+1)^2$ составляют геометрическую прогрессию, то второе из них равно среднему геометрическому первого и третьего чисел, следовательно,

$(xy+5)^2 = (y-x)^2(y+1)^2$ (2)

Так как числа $(y-x)^2$, $xy+5$, $(y+1)^2$ положительны, т. е. $(y-x)^2 > 0$, $xy+5 > 0$, $(y+1)^2 > 0$, то $x \neq y$, $xy > -5$, $y \neq -1$ (3).

Из уравнений (1) и (2) составим систему и решим её:

Из уравнения (1) получаем:

$2(3x+y) = 3x+3y$

$6x+2y = 3x+3y$

$3x=y$

Из уравнения (2), учитывая, что по условию все члены прогрессии, а значит и $xy+5$, положительны, извлекаем квадратный корень из обеих частей:

$xy+5 = \sqrt{(y-x)^2(y+1)^2} = |(y-x)(y+1)|$

Из условия положительности членов арифметической прогрессии $x+y>0$. Подставив $y=3x$, получим $4x>0$, откуда $x>0$. Тогда и $y=3x>0$.

Так как $x>0$ и $y>0$, то $y-x = 2x > 0$ и $y+1 = 3x+1 > 0$. Значит, $|(y-x)(y+1)| = (y-x)(y+1)$.

Получаем уравнение $xy+5 = (y-x)(y+1)$.

Подставим $y=3x$ в это уравнение:

$x(3x)+5 = (3x-x)(3x+1)$

$3x^2+5 = 2x(3x+1)$

$3x^2+5 = 6x^2+2x$

$3x^2+2x-5=0$

Решаем полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 \pm 8}{6}$

Корни уравнения: $x_1 = \frac{6}{6} = 1$, $x_2 = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$.

Поскольку мы ранее установили, что $x>0$, корень $x_2 = -5/3$ не является решением задачи.

Единственный подходящий корень $x=1$. Находим соответствующее значение $y$:

$y=3x=3 \cdot 1=3$.

Проверим условия (3):

Для найденной пары $(1,3)$ все условия положительности членов прогрессий выполняются.

Арифметическая прогрессия: $x+y = 1+3=4$, $3x+y = 3(1)+3=6$, $2x+2y = 2(1)+2(3)=8$. Члены 4, 6, 8 положительны и образуют арифметическую прогрессию.

Геометрическая прогрессия: $(y-x)^2 = (3-1)^2=4$, $xy+5 = 1 \cdot 3+5=8$, $(y+1)^2 = (3+1)^2=16$. Члены 4, 8, 16 положительны и образуют геометрическую прогрессию.

Следовательно, решением является пара чисел $x=1, y=3$.

Ответ: $x=1, y=3$.