Номер 33, страница 92, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

33. Если некоторое двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 7. Если же это число разделить на произведение его цифр, то в частном получится 5 и в остатке — 2. Найдите это число.

(1) Заполните пропуски и закончите решение задачи.

Решение.

Пусть в искомом числе $x$ десятков и $y$ единиц, тогда это число можно записать $10x + y$. Так как при делении этого числа на сумму его цифр в частном получается 7, то

$10x + y = 7(x + y)$ (1)

Если же это число разделить на произведение его цифр, то в частном получится 5 и в остатке — 2, следовательно,

$10x + y = 5xy + 2$ (2)

Из уравнений (1) и (2) составим систему и решим её:

...

...

...

...

...

...

Следовательно, в искомом числе ... десятка и ... единицы, а значит, ... — искомое число.

Ответ:

...

(1) Заполните пропуски и закончите решение задачи.

Пусть в искомом числе $x$ десятков и $y$ единиц, тогда это число можно записать как $10x + y$. Поскольку число двузначное, $x \in \{1, 2, ..., 9\}$ и $y \in \{0, 1, ..., 9\}$. Так как в условии есть деление на произведение цифр, то ни одна из цифр не может быть равна нулю, значит $x, y \in \{1, 2, ..., 9\}$.

Так как при делении этого числа на сумму его цифр в частном получается 7, то составляем первое уравнение:
$\frac{10x + y}{x + y} = 7$ (1)

Если же это число разделить на произведение его цифр, то в частном получится 5 и в остатке — 2, следовательно, составляем второе уравнение:
$10x + y = 5 \cdot (x \cdot y) + 2$ (2)

Из уравнений (1) и (2) составим систему и решим её:

Сначала преобразуем уравнение (1):
$10x + y = 7(x + y)$
$10x + y = 7x + 7y$
$3x = 6y$
$x = 2y$

Теперь подставим полученное выражение $x=2y$ в уравнение (2):
$10(2y) + y = 5(2y)y + 2$
$20y + y = 10y^2 + 2$
$21y = 10y^2 + 2$

Мы получили квадратное уравнение относительно $y$:
$10y^2 - 21y + 2 = 0$

Найдем его корни через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-21)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 2 = 441 - 80 = 361 = 19^2$

$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{21 \pm 19}{2 \cdot 10}$
$y_1 = \frac{21 + 19}{20} = \frac{40}{20} = 2$
$y_2 = \frac{21 - 19}{20} = \frac{2}{20} = 0.1$

Так как $y$ — это цифра, она должна быть целым числом. Поэтому единственное подходящее решение — это $y=2$.

Теперь найдем $x$ из соотношения $x=2y$:
$x = 2 \cdot 2 = 4$

Следовательно, в искомом числе 4 десятка и 2 единицы, а значит, 42 — искомое число.

Проверка:
1) Сумма цифр: $4+2=6$. Деление: $42 \div 6 = 7$. Условие выполняется.
2) Произведение цифр: $4 \times 2 = 8$. Деление с остатком: $42 = 5 \times 8 + 2$. Условие выполняется.

Ответ: 42.