Номер 31, страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

31. Решите систему уравнений:

a) $\begin{cases} x + y - xy = 1, \\ x + y + xy = 9; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + y^2 - 2xy = 1, \\ x + y = 3; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x - y = 2, \\ x^3 - y^3 = 26; \end{cases}$

г) $\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 6, \\ \sqrt{xy} = 8. \end{cases}$

Ответ:

a) ........................

б) ........................

в) ........................

г) ........................

а) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x + y - xy = 1 \\ x + y + xy = 9 \end{cases} $$ Это симметрическая система. Введем новые переменные: $a = x + y$, $b = xy$.
Система примет вид: $$ \begin{cases} a - b = 1 \\ a + b = 9 \end{cases} $$ Сложим два уравнения: $(a - b) + (a + b) = 1 + 9 \implies 2a = 10 \implies a = 5$.
Подставим $a=5$ в любое из уравнений, например, в первое: $5 - b = 1 \implies b = 4$.
Вернемся к исходным переменным: $$ \begin{cases} x + y = 5 \\ xy = 4 \end{cases} $$ Согласно теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 5t + 4 = 0$.
Найдем корни этого уравнения. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$.
$t_1 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2} = \frac{5 - 3}{2} = 1$.
$t_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2} = \frac{5 + 3}{2} = 4$.
Таким образом, решениями системы являются пары $(1, 4)$ и $(4, 1)$.
Ответ: $(1, 4), (4, 1)$.

б) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 - 2xy = 1 \\ x + y = 3 \end{cases} $$ Преобразуем первое уравнение, используя формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$.
Система принимает вид: $$ \begin{cases} (x - y)^2 = 1 \\ x + y = 3 \end{cases} $$ Из первого уравнения следует, что $x - y = 1$ или $x - y = -1$. Рассмотрим оба случая.
Случай 1: $$ \begin{cases} x - y = 1 \\ x + y = 3 \end{cases} $$ Сложим уравнения: $(x - y) + (x + y) = 1 + 3 \implies 2x = 4 \implies x = 2$.
Подставим $x=2$ во второе уравнение: $2 + y = 3 \implies y = 1$.
Получили решение $(2, 1)$.
Случай 2: $$ \begin{cases} x - y = -1 \\ x + y = 3 \end{cases} $$ Сложим уравнения: $(x - y) + (x + y) = -1 + 3 \implies 2x = 2 \implies x = 1$.
Подставим $x=1$ во второе уравнение: $1 + y = 3 \implies y = 2$.
Получили решение $(1, 2)$.
Ответ: $(2, 1), (1, 2)$.

в) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x - y = 2 \\ x^3 - y^3 = 26 \end{cases} $$ Используем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ для второго уравнения:
$(x - y)(x^2 + xy + y^2) = 26$.
Подставим в это уравнение значение $x - y = 2$ из первого уравнения системы:
$2(x^2 + xy + y^2) = 26 \implies x^2 + xy + y^2 = 13$.
Теперь решаем новую систему: $$ \begin{cases} x - y = 2 \\ x^2 + xy + y^2 = 13 \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим $x = y + 2$ и подставим во второе уравнение:
$(y + 2)^2 + (y + 2)y + y^2 = 13$
$(y^2 + 4y + 4) + (y^2 + 2y) + y^2 = 13$
$3y^2 + 6y + 4 = 13$
$3y^2 + 6y - 9 = 0$
Разделим все уравнение на 3: $y^2 + 2y - 3 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения $y_1 = 1$ и $y_2 = -3$.
Найдем соответствующие значения $x$:
Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 1 + 2 = 3$. Получаем решение $(3, 1)$.
Если $y_2 = -3$, то $x_2 = -3 + 2 = -1$. Получаем решение $(-1, -3)$.
Ответ: $(3, 1), (-1, -3)$.

г) Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 6 \\ \sqrt{xy} = 8 \end{cases} $$ Область допустимых значений: $x \ge 0$, $y \ge 0$.
Введем замену переменных: $u = \sqrt{x}$, $v = \sqrt{y}$ ($u \ge 0, v \ge 0$).
Второе уравнение можно записать как $\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = 8$, то есть $uv = 8$.
Система в новых переменных выглядит так: $$ \begin{cases} u + v = 6 \\ uv = 8 \end{cases} $$ Согласно теореме Виета, $u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 6t + 8 = 0$.
Найдем корни: $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$.
$t_1 = \frac{6 - \sqrt{4}}{2} = \frac{6 - 2}{2} = 2$.
$t_2 = \frac{6 + \sqrt{4}}{2} = \frac{6 + 2}{2} = 4$.
Оба корня положительны, что соответствует условиям $u \ge 0, v \ge 0$.
Возможны два случая:
1) $u = 2, v = 4$. Возвращаемся к исходным переменным: $\sqrt{x} = 2 \implies x = 4$; $\sqrt{y} = 4 \implies y = 16$. Решение: $(4, 16)$.
2) $u = 4, v = 2$. Возвращаемся к исходным переменным: $\sqrt{x} = 4 \implies x = 16$; $\sqrt{y} = 2 \implies y = 4$. Решение: $(16, 4)$.
Ответ: $(4, 16), (16, 4)$.