Номер 32, страница 90, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

32. Два комбайна, работая совместно, могут убрать урожай с участка за 20 ч. За сколько часов смог бы убрать урожай каждый комбайн, если известно, что второй комбайн убрал урожай с одной трети участка на 3 ч быстрее, чем первый с его половины?

Заполните таблицу и закончите решение задачи.

Решение.

Работа Время, ч Производительность, ед./ч

1-й комбайн 1 $x$

2-й комбайн 1 $y$

Вместе 1 20

1-й комбайн $1/2$

2-й комбайн $1/3$

Так как комбайны, работая совместно, могут убрать урожай с участка за 20 ч, то сумма их производительностей равна совместной производительности, т. е.
$ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{20} $ (1)

Так же по условию задачи второй комбайн убрал урожай с одной трети участка на 3 ч быстрее, чем первый с его половины, поэтому
$ \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 3 $ (2)

Из уравнений (1) и (2) составим систему и решим её:

$ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{20} \\ \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 3 \end{cases} $

Следовательно, первый комбайн смог бы убрать урожай за ............... ч, второй комбайн ............... за ............... ч.

Ответ: ...............

Обозначим за $x$ время в часах, за которое первый комбайн может убрать весь урожай, работая в одиночку, и за $y$ — время в часах для второго комбайна. Тогда их производительности равны $\frac{1}{x}$ и $\frac{1}{y}$ ед./ч соответственно. Заполним таблицу:

Так как комбайны, работая совместно, могут убрать урожай с участка за 20 ч, то сумма их производительностей равна совместной производительности, т. е. $$ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{20} \quad (1) $$

Так же по условию задачи второй комбайн убрал урожай с одной трети участка на 3 ч быстрее, чем первый с его половины, поэтому $$ \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 3 \quad (2) $$

Из уравнений (1) и (2) составим систему и решим её: $$ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{20} \\ \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 3 \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:
$\frac{y}{3} = \frac{x}{2} - 3 \implies \frac{y}{3} = \frac{x - 6}{2} \implies y = \frac{3(x-6)}{2}$.

Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение системы: $$ \frac{1}{x} + \frac{1}{\frac{3(x-6)}{2}} = \frac{1}{20} $$ $$ \frac{1}{x} + \frac{2}{3(x-6)} = \frac{1}{20} $$ Приведём левую часть уравнения к общему знаменателю $3x(x-6)$: $$ \frac{3(x-6) + 2x}{3x(x-6)} = \frac{1}{20} $$ $$ \frac{5x - 18}{3x^2 - 18x} = \frac{1}{20} $$

По свойству пропорции получаем: $$ 20(5x - 18) = 1 \cdot (3x^2 - 18x) $$ $$ 100x - 360 = 3x^2 - 18x $$ $$ 3x^2 - 118x + 360 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-118)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 360 = 13924 - 4320 = 9604$.
$\sqrt{D} = \sqrt{9604} = 98$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{118 + 98}{2 \cdot 3} = \frac{216}{6} = 36$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{118 - 98}{2 \cdot 3} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$.

Из условия (2) следует, что время работы второго комбайна $\frac{y}{3}$ положительно, значит $\frac{x}{2} - 3 > 0$, откуда $\frac{x}{2} > 3$ и $x > 6$. Корень $x_2 = \frac{10}{3} \approx 3,33$ не удовлетворяет этому условию, поэтому он является посторонним. Следовательно, подходит только $x=36$.

Теперь найдем $y$:
$y = \frac{3(36-6)}{2} = \frac{3 \cdot 30}{2} = 45$.

Следовательно, первый комбайн смог бы убрать урожай за 36 ч, второй комбайн — за 45 ч.

Ответ: первый комбайн за 36 часов, второй комбайн за 45 часов.